Радиус-вектор

[wolf.ram]

Как известно, его можно дифференцировать. Мы получим сперва скорость, потом ускорение. Даже есть третья производная. Рывок называется. (выяснил недавно).

А вот что будет, если мы его проинтегрируем? Какой-то будет смысл у получившегося выражения?

[Morkonwen]

Ну если вы имеете ввиду интегрировать по времени (возьмем не радиус вектор, а для простоты одну координату x) , то вряд ли у величины $\int x\,dt$ будет особый смысл. Можно использовать $\int |x|\,dt$ как меру насколько долго-далеко тело находится от начала координат. Если величина большая, тело долго и далеко от начала координат, если мала, тело не отходит далеко от начала координат надолго

Больший смысл имеет интегрирование по траектории, но это не интегрирование самого радиус-вектора по времени. выглядит как $\int F(x) dx$ называется работа =)

[DenisKolesnikov]

wolf.ram
Суть в том, что как взаимосвязаны радиус-вектор и скорость, таким же образом имеется связь между радиус-вектором и ее первообразной. Кратко говоря, радиус-вектор можно считать "вектором скорости" для первообразной точки и тогда исходная точка движется по годографу, а "первообразная" по траектории. У Сивухина в первом томе подробно разобрано, как такой подход можно применять к решению задач.
Вообще говоря, как правило, в физике имеют дело с бесконечно интегрируемыми и дифференцируемыми функциями, потому такое интегрирование, в принципе, возможно. Другое дело, что этим никто не пользуется ввиду возможности "сдвинуться на одну производную вниз" и пользоваться обычными радиус-векторами, скоростями и ускорениями

[Munin]

wolf.ram в сообщении #453832 писал(а):

А вот что будет, если мы его проинтегрируем? Какой-то будет смысл у получившегося выражения?

В одном из вариантов может получиться полезная величина: заметаемая площадь. Используется в законах Кеплера.

DenisKolesnikov в сообщении #453869 писал(а):

Другое дело, что этим никто не пользуется ввиду возможности "сдвинуться на одну производную вниз" и пользоваться обычными радиус-векторами, скоростями и ускорениями

Скорее, никто не пользуется ввиду отсутствия физического смысла. Сдвиг "на одну производную вверх", например, удобный подход - рассмотрение задачи в пространстве скоростей.