Множество матриц с целыми элементами: группа или нет?

[p4elka1986]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста.

Выяснить, образует ли группу следующее множество при указанной операции над элементами:
множество матриц порядка n с целыми элементами относительно умножения?

Я понимаю, что нужно проверить замкнутость относительно умножения, ассоциативность, коммутативность, обратный и нейтральный относительно умножения.

Но как это все записать, начать?

[ИСН]

Обратную матрицу находить умеете?

[p4elka1986]

конечно
теорию знаю,
только не знаю как все это записывать и переводить на практику в общем

[Joker_vD]

p4elka1986
Ну вот и найдите обратную к матрице

$$\left(\begin{array}{cccc} m_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & m_n \end{array}\right).$$

[ИСН]

Не надо ужасов. Найдите обратную к вот такой:

$$\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)$$

[Joker_vD]

ИСН
Я тоже такую хотел нарисовать, но там ведь все-таки $n$ стоит... Да и какой тут ужас? Найти обратную к диагональной не просто просто, а ну просто очень просто. А вообще, ваш пример тоже излишне усложнен Достаточно матрицы

$$\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right).$$

[p4elka1986]

ИСН в сообщении #452947 писал(а):

Не надо ужасов. Найдите обратную к вот такой:

$$\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)$$

воть

$$\left(\begin{array}{cc} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{array}\right)$$

[Joker_vD]

Ну? Вот вы взяли матрицу порядка 2 с целыми элементами, нашли обратную к ней относительно умножения... у вас получилась матрица порядка 2 с целыми элементами?

[p4elka1986]

Joker_vD в сообщении #452962 писал(а):

Ну? Вот вы взяли матрицу порядка 2 с целыми элементами, нашли обратную к ней относительно умножения... у вас получилась матрица порядка 2 с целыми элементами?

нет, значит не группа.

По остальным свойствам:
1. Замкнуто.
2. Ассоциативно.
3. Обратная есть, но в данное множество не входит.
4. Нейтральный есть, входит.
5. Коммутативность есть.
Верно?
Единственное свойство, кот. не выполняется - наличие обратного эл-та.

[ИСН]

Остальные не интересны. (Коммутативность Вы вообще непонятно откуда взяли, но это неважно.) Одного нету - всё, не группа.

[p4elka1986]

ИСН в сообщении #452977 писал(а):

Остальные не интересны. (Коммутативность Вы вообще непонятно откуда взяли, но это неважно.) Одного нету - всё, не группа.

Преподавательница у нас очень любит, чтобы все было написано подробно, даже если по условию это не нужно.
Насчет коммутативности, ошиблась, ее нет. Ее практически никогда нет.

А если рассматривать произведение $C = AB$, то можно ли коммутативность рассматривать относительно принадлежности к данному множеству матриц? В таком случае -есть. Только можем мы ее так рассматривать?

[Sonic86]

p4elka1986 писал(а):

А если рассматривать произведение $C = AB$, то можно ли коммутативность рассматривать относительно принадлежности к данному множеству матриц? В таком случае -есть. Только можем мы ее так рассматривать?

Непонятно, коммутативность всегда рассматривается для заданного множества элементов.
И: некоммутативно же! Для $A = \binom{1 \ 1}{0 \ 0}, B = \binom{1 \ 0}{1 \ 0}$ найдите $A \cdot B$ и $B \cdot A$.

[p4elka1986]

Спасибо, я подумала, что коммутативность может выражаться принадлежностью к заданному множеству, поняла, что ошиблась.

[Sonic86]

p4elka1986 писал(а):

Спасибо, я подумала, что коммутативность может выражаться принадлежностью к заданному множеству, поняла, что ошиблась.

Странная формулировка. $G$ коммутативна тогда и только тогда, когда для любых $x,y \in G$ будет $xy=yx$. "Принадлежность к множеству" здесь и задается группой $G$.

[мат-ламер]

p4elka1986. Хотя этого в задаче нет, но можете подумать, как ограничить исходное множество матриц, чтобы оно стало группой.