Ряд Лорана

[Aden]

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки z(0).
$\[f(z) = \frac{1}{{z^2 + 2iz}}\]$.
Сделал следующее $\[f(z) = \frac{1}{{z^2 + 2iz}} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{{z + 2i}}\]$.
z=0,z=-2i. А как быть дальше?

[ИСН]

А зачем сделали? Чем это нам поможет?

[Aden]

А с чего начать?

[Полосин]

Как обычно - с чтения учебника.

[Aden]

Спасибо за совет.

[ewert]

ИСН в сообщении #452730 писал(а):

А зачем сделали? Чем это нам поможет?

Aden в сообщении #452733 писал(а):

А с чего начать?

Aden, имелось в виду, что должно помочь разложение на простейшие и потом в геометрическую прогрессию.

[Aden]

$ f(z) = \frac{1}{{z^2 + 2iz}} = \frac{A}{z} + \frac{B}{{z + 2i}}; \\ A \cdot \left( {z + 2i} \right) + B \cdot z = 1; \\ f(z) = \frac{{1/2i}}{z} - \frac{{1/2i}}{{z + 2i}}; \\ \end{array}$$. А дальше нужно каждую дробь в отдельности расписывать?

[мат-ламер]

Aden. Вы правильно начали в первом посту. Кто Вам подсказал насчёт суммы? Кувыркайтесь дальше со вторым множителем, пока он не будет похож на ряд Тейлора.

[ИСН]

Нет уж, лучше как в последнем.
Впрочем, можно и так, и так.

[Aden]

$\frac{{1/2i}}{{z + 2i}} = \frac{{1/2i}}{{2i(1 + \frac{z}{{2i}})}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{z}{{2i}}}} = \frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - \frac{z}{{2i}}} \right)} ^n = - \frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{z^n }}{{\left( {2i} \right)^n }}} $. Я правильно разложил вторую дробь?

[ИСН]

А как это Вы так лихо минус вынесли из скобок?

[Aden]

Да выносить так нельзя. Спасибо.

$\[ \frac{{1/2i}}{{z + 2i}} = \frac{{1/2i}}{{2i(1 + \frac{z}{{2i}})}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{z}{{2i}}}} = \frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - \frac{z}{{2i}}} \right)} ^n = \frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{z}{{2i}}} \right)} ^{2n} - \frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{z}{{2i}}} \right)} ^{2n + 1} \]$
Первую дробь также разлаживать через ряд Тейлора?

[ИСН]

Последний ряд необязательно было разбивать на части. С минусом в скобках он смотрелся нормально.
Комплексные числа в знаменателе оставлять не надо. Плохая примета.
А что до первой дроби, то позвольте узнать, как это Вы её намереваетесь разлагать?

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #452823 писал(а):

как это Вы её намереваетесь разлагать?

Так ведь речь шла не о разлагать, а о "разлажить". Последнее -- почему бы и нет.

[Aden]

Так как быть дальше? Чтото я в тупик защел.