Многочлен с целыми коэффициентами

[Xenia1996]

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней, в некоторой целой точке принимает натуральное значение $m$.
Доказать, что $n\le 4\sqrt m$

[Руст]

Ваша оценка $m\ge \frac{n^2}{16}$ слишком слабая.
Очевидно, что $m\ge (\frac n2!)^2, n-even$ и
$m\ge ((\frac{n-1}{2})!)^2\frac{n+1}{2}, n-odd$.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #452394 писал(а):

Ваша оценка $m\ge \frac{n^2}{16}$ слишком слабая.
Очевидно, что $m\ge (\frac n2!)^2, n-even$ и
$m\ge ((\frac{n-1}{2})!)^2\frac{n+1}{2}, n-odd$.

Я уважаю Вас за то, что Вам это очевидно.
Может, поделитесь очевидностью?
Или это всем очевидно, кроме меня?

[ИСН]

Не, ну правда: различных и целых! Куда деваться? Значит, он имеет вид $(x-x_1)\cdots(x-x_n)$. Значит, тупо, его значение в любой целой точке - это произведение n различных целых чисел. Как бы их сделать поменьше? Сгоняем все вниз, вниз... от 1 до n... получилось $n!$. Чёрт! Откуда он это взял? А! можно же сгонять их по разные стороны от нуля! И теперь...
Да, действительно очевидно.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #452475 писал(а):

Не, ну правда: различных и целых! Куда деваться? Значит, он имеет вид $(x-x_1)\cdots(x-x_n)$. Значит, тупо, его значение в любой целой точке - это произведение n различных целых чисел. Как бы их сделать поменьше? Сгоняем все вниз, вниз... от 1 до n... получилось $n!$. Чёрт! Откуда он это взял? А! можно же сгонять их по разные стороны от нуля! И теперь...
Да, действительно очевидно.

Да я уже поняла, что затупила.