Пространственный пятиугольник

[Xenia1996]

а) Существует ли пространственный пятиугольник, все стороны которого равны, а углы между любыми двумя смежными сторонами прямые?

б) А если равными должны быть лишь четыре стороны?

в) Доказать, что существует только два различных пространственных пятиугольника, все стороны которых равны, а углы, заключённые между любыми двумя смежными сторонами, также равны (но не обязательно прямые).

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #448389 писал(а):

а) Существует ли пространственный пятиугольник, все стороны которого равны, а углы между любыми двумя смежными сторонами прямые?

Углы какие? При вершинах? Двугранные углы? Или что-то другое? (прошу, если написано, тыкните носом , я невнимательный, поэтому и спрашиваю).

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #448460 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #448389 писал(а):

а) Существует ли пространственный пятиугольник, все стороны которого равны, а углы между любыми двумя смежными сторонами прямые?

Углы какие? При вершинах? Двугранные углы? Или что-то другое? (прошу, если написано, тыкните носом , я невнимательный, поэтому и спрашиваю).

Нет, не двугранные. Углы при вершинах.

[gris]

А написано очень чётко: "углы между любыми двумя смежными сторонами".
Две смежные стороны пространственной ломаной пересекаются в общей вершине. Через них можно провести плоскость и в ней определить угол. Ну с точностью до смежного или даже дополнительного до $360^{\circ}$ (хотя последнее употребляется крайне редко).

О, уже ответили. По второму вопросу я только что сложил из четырёх пальцев (не отрубая их) фигуру, поворачивая которую, построил подтверждающий пример.

[Lunatik]

А можете ещё пояснить: что такое "пространственный пятиугольник"? Это многогранник, у которого пять вершин, или я опять просмотрел?..

[Xenia1996]

Lunatik в сообщении #448480 писал(а):

А можете ещё пояснить: что такое "пространственный пятиугольник"? Это многогранник, у которого пять вершин, или я опять просмотрел?..

Нет, не многогранник.
Давайте начнём вот с такого вопроса: как Вы определяете понятие "пятиугольник"?

[Crutoy Pazan]

Цитата:

как Вы определяете понятие "пятиугольник"?

(Оффтоп)

то, что с пятью углами-капитан очевидность

[Xenia1996]

Crutoy Pazan в сообщении #448485 писал(а):

Цитата:

как Вы определяете понятие "пятиугольник"?

(Оффтоп)

то, что с пятью углами-капитан очевидность

Стало быть, тетраэдр, по-Вашему, является четырёхугольником, а куб - восьмиугольником?

Нет, здесь не так. Пятиугольник - это замкнутая несамопересекающаяся ломаная с ровно пятью звеньями.

[Crutoy Pazan]

(Оффтоп)

это была шютка

[Xenia1996]

Crutoy Pazan в сообщении #448489 писал(а):

(Оффтоп)

это была шютка

Моя тоже пошютила, в тетраэдре больше четырёх углов.

[gris]

О, тут есть целая куча определений, но мне нравится такое: Многоугольник это замкнутая ломаная без самопересечений.

Если не лежит в одной плоскости, то называется пространственным (scew poligon).
Иногда требуют для трёхмерного пространства ещё топологическую эквивалентность многоугольника окружности, то есть отсутствие узлов.

Бегу по стопам Ксении, но не успеваю

[Lunatik]

Спасибо за разъяснения, привык, что раз простанственный, значит многогранник Тогда я думаю, что:
а) Не существует.
б) Существует.
Доказательство (или опровержение, или грустный смайлик с "Не знаю") чуть позже...

-- Сб май 21, 2011 21:17:54 --

а) Если бы это дали на какой-нибудь плохонькой городской олимпиаде, я бы не стал искать красивое доказательство, а доказал бы примерно так:
Будем строить по чуть-чуть:
1) Расположим первый отрезок вертикально.
2) Без ограничения общности второй отрезок проведём из нижнего конца первого отрезка вправо.
3) Докажем, что третий отрезок не лежит на плоскости, на которой лежат два оставшиеся отрезка. Действительно, провести вправо мы не можем (тогда это не пятиугольник). Вниз также не можем (тогда расстояние между свободными концами третьего и первого отрезка заведомо больше, чем два отрезка). Вверх не можем (в одной плоскости два ост. отрезка мы не проведём хотя бы из-за суммы углов, а в другой плоскости мы не проведём, т. к. соединить линии мы сможем только одним путём, который невозможен). Доказательство окончено. Опять же, без ограничения общности будем считать, что третий отрезок расположен "внутрь"
4) Подумаем, куда из конца третьего отрезка можно направить четвёртый? "На себя" и "от себя" нельзя, вниз и вправо также нельзя, т. к. мы увеличиваем расстояние от первой точки, которое и так равно корню из трёх, умн. на длину отрезка, остаётся либо вверх, либо влево. Но ни так, ни так нельзя, потому что расстояние между двумя свободными точками в обоих случаях будет равно квадр. корню из 2, помноженному на длину отрезка, что больше длины отрезка, ч т.д.
Расписать хотел как можно подробнее, надеюсь правильно.
б) А тут можно, как раз пункт а) и есть такое построение, единственное в пункте 4 тогда уже можно будет провести линию вышеуказанной длины по условию.

[arseniiv]

gris в сообщении #448491 писал(а):

Иногда требуют для трёхмерного пространства ещё топологическую эквивалентность многоугольника окружности, то есть отсутствие узлов.

А из узловых многоугольников нельзя, случаем, раздуть задачу? Например, назовите минимальное количество сторон равностороннего пространственного многоугольника, гомеоморфного не тривиальному узлу. Или вообще заданному узлу.

[anermak]

а) нет. Достаточно показать, что вершины всех возможных ПП ( ) будут расположены в вершинах 8 кубиков стыкуемых в общий кубик вдоль граней, где одна из вершин находиться в центре, а замыкание должно происходить по ребрам.(рис) Далее нужно показать что все равносторонние 90 град ломанные в пределах ребер кубика будут иметь четное число сторон, потому и 5 исключаем.
б) да.
в) по всей видимости сам правильный плоский пятиугольник и ломаная с вершинами в некой тригональной бипирамиде (рис) но сходу чёт не вижу , надо покумекать...

[ИСН]

Это у Вас, говоря химическим языком, идеальный конверт. Должно ещё быть идеальное полукресло. Наверное.