еще Теория групп

[ZdravstvujNebo]

1)$\alpha=\begin{pmatrix} 12345\\ 12534\\ \end{pmatrix} \beta=\begin{pmatrix} 12345\\ 31425\\ \end{pmatrix}$
Чему равна группа $<\alpha,\beta>$?
Непонятно, как строить группу, и что делать со всякими штуками типа $\alpha\cdot\beta\cdot\alpha^2\cdot\beta^3\cdot\alpha\cdot...$
2) $U_n \subseteq C, U_n- группа корней из единицы степени n. При каких m,n U_{mn} \cong U_m \times U_n?$

[Dan B-Yallay]

2) - циклические группы. Подумайте о взаимной простоте $m,\ n$

[ИСН]

Ну а в (1) надо тупо множить всё на что попало, пока результаты не начнут повторяться.

[ZdravstvujNebo]

Во втором пусть $T_n$-класс вычетов по модулю n; есть подозрение, что $U_n \cong T_n ; U_n \times U_m \cong T_n \times T_m$. $U_{mn} \cong U_n \times U_m$ будет видимо тогда, когда m и n взаимно просты, но как это доказать?
В первом может может можно еще как нибудь кроме перебора?..

[Sonic86]

ZdravstvujNebo в сообщении #448082 писал(а):

Во втором пусть $T_n$-класс вычетов по модулю n; есть подозрение, что $U_n \cong T_n ; U_n \times U_m \cong T_n \times T_m$. $U_{mn} \cong U_n \times U_m$ будет видимо тогда, когда m и n взаимно просты, но как это доказать?
В первом может может можно еще как нибудь кроме перебора?..

Блин, это очевидно. Установите естественную биекцию между элементами и проверьте гомоморфность.

[ZdravstvujNebo]

на мой взгляд, как доказать это для произвольного m,n, не очевидно

-- Пт май 20, 2011 21:55:44 --

короче, я уже нашла http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/ ... belian.pdf лемма 6.1
так в первом никак иначе не сделать, кроме как перемножать кучу перестановок?

[VAL]

ZdravstvujNebo в сообщении #448112 писал(а):

так в первом никак иначе не сделать, кроме как перемножать кучу перестановок?

Ну, все 120 получать необходимости нет. Достаточно 61
На самом деле, конечно же можно обойтись меньшим количеством.
Например, $\beta^2\alpha^{-1}=(1 \ 5 \ 3 \ 2 \ 4)$ (я, разумеется, записываю перестановки в цикловом виде). Остается соорудить из $\alpha$ и $\beta$ транспозицию и воспользоваться тем, что длинный цикл и транспозиция порождают всю группу $S_n$.

[bnovikov]

(1) Решите сначала задачу попроще:

Чему равна группа $<\alpha, \beta^2>$?

[bnovikov]

(1) Вот начало решения (с помощью подсказки VAL):

т. к. порядки $\alpha$ и $\beta$ равны 3 и 4, то порядок группы $<\alpha, \beta>$ делится на 12. Но, кроме того, порядок $\beta^2 \alpha^{-1}$ равен 5 ...

[VAL]

bnovikov в сообщении #448214 писал(а):

(1) Вот начало решения (с помощью подсказки VAL):

т. к. порядки $\alpha$ и $\beta$ равны 3 и 4, то порядок группы $<\alpha, \beta>$ делится на 12. Но, кроме того, порядок $\beta^2 \alpha^{-1}$ равен 5 ...

Значит, порядок кратен 60. Т.е. имеем две возможности: порядок - 60 и порядок 120. Но $S_5$ одна подгруппа порядка 60. Это знакопеременная группа, состоящая из четных перестановок. Но перестановка $\beta$ нечетна.

[ZdravstvujNebo]

то есть получается, что нужная группа - это и есть $S_5$?

[VAL]

ZdravstvujNebo в сообщении #448244 писал(а):

то есть получается, что нужная группа - это и есть $S_5$?

Получается. И несколько постов назад я уже об этом писал.