Функция

[maxmatem]

необходимо построить функцию , такую, что она является гладкой на $R^{1}$ т.е $\[ f(x) \in C^\infty (R) \]$ причём в её состав входит натуральное число $n$ и $\[ f^{(n)} (0) = 0 \]$. Эта функция должна иметь какое то аналитическое задание в точках $\[ x \ne 0 \]$ и быть нулём в $x=0$.

И было бы не плохо, чтобы производная этой функции в точках $\[ x \ne 0 \]$ была того же типа, что и сама функция(этот факт упростит доказательство непрерывности производных любого порядка )

Лично я думал что такая подойдёт


$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^{n + 1} sh(x);x \ne 0 \hfill \\ 0;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

но почему то сомнения меня берут что она гладкая...

Думаю, что надо с экспонентой что делать ....

[Dan B-Yallay]

Чем $x^n$ не устраивает?

[maxmatem]

Dan B-Yallay

$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^n ;x \ne 0 \hfill \\ 0;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
Ну скажем непрерывность в точках $\[ x \ne 0 \]$ ясна , проверим в точке $\[ x = 0 \]$

$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^n = 0 = f(0) \]$
Дифференцируемость в точках $\[ x \ne 0 \]$ ясна , проверим в точке $\[ x = 0 \]$

$\[ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}} {x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{n - 1} = 0 \]$

Мне надо чтобы она имела непрерывные производные любого порядка, и как вы это предлагаете доказывать. Вот если бы производная получилась такого же типа как и сама функция то вопросов бы не было. Просто сослались на точто доказали для самой ф-ии. И так сколь угодно раз.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Мне надо чтобы она имела непрерывные производные любого порядка, и как вы это предлагаете доказывать.

1)Полиномы имеют производные любого порядка.
2) $f(x)=x^n$ и не нужно ухищрений с кусочным заданием функции.

[maxmatem]

Надо именно кусочно. А иначе я бы и не спрашивал, ведь было бы очевидно.

$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^n ;x \ne 0 \hfill \\ 0;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
В таком виде выполнено $\[ f(x) \in C^\infty (R) \]$ ?

Вы можете предложить кусочно заданную функцию удовлетворяющию нужным условиям, или хотя бы намекнуть?

[ИСН]

maxmatem, Вы бредите. Такого не может быть надо.
Ваша "кусочно" заданная функция выглядит как $x^n$, пахнет как $x^n$, бегает как $x^n$ и на вкус как $x^n$. Чем она отличается от $x^n$?

[Dan B-Yallay]

maxmatem в сообщении #446969 писал(а):

Надо именно кусочно. А иначе я бы и не спрашивал, ведь было бы очевидно.

$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^n ;x \ne 0 \hfill \\ 0;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
В таком виде выполнено $\[ f(x) \in C^\infty (R) \]$ ?

Вы можете предложить кусочно заданную функцию удовлетворяющию нужным условиям, или хотя бы намекнуть?

$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^n ;x \geq 0 \hfill \\ x^n;x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Если у Вас нет дополнительных требований к функции, очевидно подходит по всем параметрам. Если это неочевидно, то Вы явно переутомились.

[maxmatem]

Dan B-Yallay

мне надо чтобы ф-ия при $\[ x > 0 \]$ имела конкретное аналитическое задание и равнялась нулю в точках $\[ x \leqslant 0 \]$ и была гладкой причём $\[ f^{(n)} (0) = 0 \] $ и кусочно заданной. это возможно?

понимаете я уже знаю одну такую

$\[ \begin{gathered} f(x) = \left\{ \begin{gathered} r(x)e^{ - \frac{1} {x}} ;x \ne 0 \hfill \\ 0;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ r(x) = \frac{{a_m^{} x^m + ... + a_0 }} {{x^n }};\,\,\,m < n \hfill \\ \end{gathered} \]$
и она удовлетворяет всем требованиям, но мне хотелось придумать функцию по проще.......
вот и мучаюсь.

[Dan B-Yallay]

maxmatem в сообщении #446978 писал(а):

Dan B-Yallay

мне надо чтобы ф-ия при $\[ x > 0 \]$ имела конкретное аналитическое задание и равнялась нулю в точках $\[ x \leqslant 0 \]$ и была гладкой причём $\[ f^{(n)} (0) = 0 \] $ и кусочно заданной. это возможно?

У Вас проблемы с формулировкой . Выделенное требование - появилось только сейчас.

$$f(x)= \begin{cases} e^{-x^2}, \ x\geq 0 \\ 0, \ x<0 \end{cases}$$

[ИСН]

Один студент © тоже как-то раз вот так пришёл на форум, всех заинтриговал, а потом на ходу радикально поменял условие. На другой день его нашли в Головинском пруду, забитого до смерти палочками от знаков $\le$ и $\ge$.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
я извиняюсь за то что немного сумбурно излагаю но всё же.А есть ли точка в которой надо проверять существование производной и непрерывность в вами предложеной ф-ии? Наверное в нуле?

$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} e^{ - x^2 } ;x > 0 \hfill \\ 0;x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $
тогда такую можно взять?

[Dan B-Yallay]

ИСН в сообщении #446986 писал(а):

Один студент © тоже как-то раз вот так пришёл на форум, всех заинтриговал, а потом на ходу радикально поменял условие. На другой день его нашли в Головинском пруду, забитого до смерти палочками от знаков $\le$ и $\ge$.

Кроме того ТС явно недоговаривает о гладкости всех производных. Требует ее только для функции и равенство нулю. Не удивлюсь если обьявится еще что-то.

maxmatem в сообщении #446989 писал(а):

Dan B-Yallay
я извиняюсь за то что немного сумбурно излагаю но всё же.А есть ли точка в которой надо проверять существование производной и непрерывность в вами предложеной ф-ии? Наверное в нуле?

Место склейки надо проверять всегда.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Почему же не договариваю, ведь мне надо чтобы ф-ия$ \[ f(x) \in C^\infty (R) \]$ ну так как в прошлом посте я не много подредактировал вашу ф-ию то она подойдёт?

[Dan B-Yallay]

maxmatem в сообщении #446993 писал(а):

Dan B-Yallay
Почему же не договариваю, ведь мне надо чтобы ф-ия$ \[ f(x) \in C^\infty (R) \]$ ну так как в прошлом посте я не много подредактировал вашу ф-ию то она подойдёт?

Да, подойдет.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
А мне кажется не подайдёт...
ведь проверим непрерывность в точке ноль имеем$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} e^{ - x^2 } = 1 \ne f(0) \]$