УМФ. Разложить функцию по базису и исследовать на сходимость

[Sboy]

Добрый день.
Помогите пожалуйста с заданием:
разложить функцию:
$f(x)=-x^2$ если $x<1; 1-(x-1)^2$ если $x\ge 1$
по базису $x_k=\cos((\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})x)$
и исследовать полученный ряд на сходимость

ряд надо полагать будет иметь вид:
$f(x)=\sum_{k=1}^{\inf}a_k(k)*x_k(x,k)$
где:

$$ a_k=\int_{0}^{l}f(x)*x_k(x)= -\int_{0}^{1}(x^2)\cos((\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})x)dx + \int_{1}^{l}(1-(x-1)^2)\cos((\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})x)dx $$

у меня получилось

$$ a_k=\frac{(2l^3)(-1)^k}{(\frac{\pi}{2}+k\pi)^3}-\frac{2l\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{\frac{\pi}{2}+k\pi}+\frac{2l^2(-1)^k}{\frac{\pi}{2}+k\pi}-\frac{l^3(-1)^k}{\frac{\pi}{2}k\pi}-\frac{2l^2\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{(\frac{\pi}{2}+k\pi)^2} $$

и соответственно ряд Фурье:

$$f(x)=\sum_{k=1}^{\inf}(\frac{(2l^3)(-1)^k}{(\frac{\pi}{2}+k\pi)^3}-\frac{2l\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{\frac{\pi}{2}+k\pi}+\frac{2l^2(-1)^k}{\frac{\pi}{2}+k\pi}-\frac{l^3(-1)^k}{\frac{\pi}{2}k\pi}-\frac{2l^2\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{(\frac{\pi}{2}+k\pi)^2})\cos((\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})x)$$

а вот как полученный ряд исследовать на сходимость не соображу. Может кто подскажет как это сделать? Заранее спасибо.

AKM:

Укрупнил (выделил) формулы.
Русские буквы внутри формул не интерпретируются (Ваши "если" внутри $f(x)=-x^2\;\ldots$). Поправил.

$$f(x)=\begin{cases}-x^2\text{, если~}x<1;\\ 1-(x-1)^2\text{, если~}x\ge 1.\end{cases}$$

[ewert]

Sboy в сообщении #446720 писал(а):

как полученный ряд исследовать на сходимость не соображу.

У Вас каждое слагаемое даёт ряд или сходящийся абсолютно, или по признаку Дирихле. Кроме того, сильно подозреваю, что $l$ в условии равно чему-то вполне конкретному, и тогда всё сильно упростится.

[Sboy]

а разве слагаемы с 1 степенью в знаменателе, например, $\frac{2l\sin(\frac{\pi}{2}+k\pi)}{\frac{\pi}{2}+k\pi}\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l}x)$ будет сходиться по Дирихле?

AKM спасибо, теперь буду старать нормально темы оформлять:)

[ewert]

Sboy в сообщении #446737 писал(а):

а разве слагаемы с 1 степенью в знаменателе, например, $\frac{2l\sin(\frac{\pi}{2}+k\pi)}{\frac{\pi}{2}+k\pi}\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l}x)$ будет сходиться по Дирихле?

Именно. Распишите все синусы/косинусы по формуле Эйлера.

[Sboy]

т.е. получаю
$\frac{2l\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{\frac{\pi}{2}+k\pi}\cos(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l}x)=\frac{l\sin(\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l})}{\frac{\pi}{2}+k\pi}(e^{i\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l}x}+e^{-i\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{l}x})$

всеравно не вижу как тут признак дирихле применить...тамже вродибы нужно произвдение монотонно сходящегося ряда на ограниченный....

[ewert]

Sboy в сообщении #446794 писал(а):

всеравно не вижу как тут признак дирихле применить...т

а оставшийся синус тоже распишите как бы... и потом раскройте скобки -- все экспоненты вроде как безобидными выйдут...