Банаховы алгебры с единицей, спектр суммы

[neo66]

Верно ли, что в банаховой алгебры $A$ с единицей $\sigma(a+b)\subseteq \sigma(a) + \sigma(b)$ для любых $a,b\in A$?

Вроде бы, верно, но как доказать?

[ewert]

neo66 в сообщении #446352 писал(а):

$\sigma(a+b)\subseteq \sigma(a) + \sigma(b)$

Для матриц это означало бы: любое собственное число суммы матриц -- это сумма какого-то собственного числа первого слагаемого и какого-то собственного числа второго. Разумеется, это неверно. Например, попробуйте сложить спектры $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ и сравнить со спектром $A+B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Естественно, ничего общего.

[neo66]

Значит, опечатка в книжке Мерфи "С*-алгебры и теория опрераторов". Он предлагает доказать это в качестве задачи. Однако, утверждение становится верным, если $ab=ba$. В этом случае оно выводится из представления Гельфанда-Наймарка.

[ewert]

neo66 в сообщении #446359 писал(а):

утверждение становится верным, если $ab=ba$.

Наверное (я этого представления не знаю). Дли коммутирующих матриц это верно, поскольку у них один и тот же набор корневых векторов.