Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками

[Himik119]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачей об одномерном прямоугольном потенциальном ящике.
Пусть ширина ящика L, координата левой стенки -L/2, правой L/2.
Ур-ние Шредингера: $\frac{1}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$
Его общее решение: $\psi(x) = Asin(\sqrt{2mE}x) + Bcos(\sqrt{2mE}x)$
Далее в учебнике показывают что энергия может принимать дискретные значения $E_n = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2}$ и затем пишут что с учетом этого решения имеют вид:
$\psi_n(x) = A_n sin(\frac{\pi n}{L}(x+\frac{L}{2}))$
Вопрос - куда делись косинусы? Ведь если подставить $E_n = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2}$ то получится
$\psi_n(x) = A_n sin(\frac{\pi n}{L}x) + B_n sin(\frac{\pi n}{L}x)$

[Munin]

Himik119 в сообщении #445880 писал(а):

Вопрос - куда делись косинусы?

$\sin\bigl(\frac{\pi n}{L}(x+\frac{L}{2})\bigr)=\sin(\frac{\pi n}{L}x+\frac{\pi n}{2})=\cos\frac{\pi n}{2}\underline{\sin\frac{\pi n}{L}x}+\sin\frac{\pi n}{2}\underline{\cos\frac{\pi n}{L}x}.$
Так как $n$ - последовательные целые числа, синусы и косинусы чередуются.

[Himik119]

То что это так - понятно, а как это вывести - нет. Вот мы подставили E в волновую функцию и получили для неё выражение содержащее и синус и косинус, но первая волновая функция содержит только косинус, вторая только синус и т.д. Значит надо как-то дальше преобразовать полученное выражение, и свести его к тому что в учебнике

Если посчитать $\psi_1$ по формуле полученной прямой подстановкой, получится:
$\psi_1=A_1 sin(\frac{\pi}{L}x) + B_1 cos(\frac{\pi}{L}x)$
А если по формуле из учебника:
$\psi_1=A_1 cos(\frac{\pi}{L}x)$
Если коэффициент перед синусом равен нулю то они равны, но я не понимаю как доказать что он равен нулю?

[Munin]

Himik119 в сообщении #445903 писал(а):

То что это так - понятно, а как это вывести - нет.

Как это вывести - рассказывают на отдельном предмете "уравнения математической физики" (или "методы..."). И в отдельных учебниках по нему же.

Himik119 в сообщении #445903 писал(а):

Если коэффициент перед синусом равен нулю то они равны, но я не понимаю как доказать что он равен нулю?

На функцию наложены граничные условия: в точках $x=-L/2$ и $x=L/2$ она равна нулю. Если вы подставите в эти условия вашу конкретную $A_1\sin(\frac{\pi}{L}x) + B_1\cos(\frac{\pi}{L}x),$ коэффициент перед синусом занулится.

[Himik119]

Munin в сообщении #445912 писал(а):

На функцию наложены граничные условия: в точках $x=-L/2$ и $x=L/2$ она равна нулю. Если вы подставите в эти условия вашу конкретную $A_1\sin(\frac{\pi}{L}x) + B_1\cos(\frac{\pi}{L}x),$ коэффициент перед синусом занулится.

Вот это мне и нужно было, спасибо :)

[r0ma]

Замечу только, хоть это скорее всего и опечатка, УШ неверно написано в первом сообщении.
p.s.: а, ну понятно. $\hbar = 1$.