Двоичная комбинаторика

[MrDindows]

Пусть X обозначает множество всех двоичных последовательностей длины 24. Y - произвольное подмножество X, в котором каждые два элемента отличаются не менее чем в 8 позициях. Доказать, что множество Y содержит не более, чем 4096 элементов.

[Simba]

Что-то не выходит. Двоичная последовательность, как я понял, это последовательность из нулей и едениц, так? Тогда для Y выберем произвольный базисный элемент a из Х. Отличается в какой-то позиции это значит вместо нуля - еденица, вместо еденицы - нуль. Тогда кол-во элементов, отличающихся от a в 8 позициях равно $C^8_{24}$, в 9 - $C^9_{24}$,..., в 24 - $C^{24}_{24}$. Но $ \frac{1}{2} \cdot C^{12}_{24} + C^{13}_{24}+...+C^{24}_{24}= \frac{1}{2} \cdot (C^1_{24}+ C^2_{24}+...+C^{24}_{24})=2^{23} \ge 2^{12}$ Может я что-то не понял или все же какая-то ошибка?

[MrDindows]

Simba в сообщении #445742 писал(а):

Что-то не выходит. Двоичная последовательность, как я понял, это последовательность из нулей и едениц, так? Тогда для Y выберем произвольный базисный элемент a из Х. Отличается в какой-то позиции это значит вместо нуля - еденица, вместо еденицы - нуль. Тогда кол-во элементов, отличающихся от a в 8 позициях равно $C^8_{24}$, в 9 - $C^9_{24}$,..., в 24 - $C^{24}_{24}$. Но $ \frac{1}{2} \cdot C^{12}_{24} + C^{13}_{24}+...+C^{24}_{24}= \frac{1}{2} \cdot (C^1_{24}+ C^2_{24}+...+C^{24}_{24})=2^{23} \ge 2^{12}$ Может я что-то не понял или все же какая-то ошибка?

В этом подмножестве ЛЮБЫЕ 2 элемента должны отличаться не менее чем в 8 позициях, а Вы зачем-то берёте 1 базисный элемент.

Зы, Модераторы, исправьте пожалуйста опечатку в названии темы=)

[maxal]

MrDindows в сообщении #445729 писал(а):

Пусть X обозначает множество всех двоичных последовательностей длины 24. Y - произвольное подмножество X, в котором каждые два элемента отличаются не менее чем в 8 позициях. Доказать, что множество Y содержит не более, чем 4096 элементов.

Это же бабл-гам двоичный код Голея [24, 12, 8].