Найти длину ветви астроиды

[VadimATP]

Помогите, пожалуйста, разобраться. Прихожу к ответу, но считаю его неверным.
Задача самая обычная: найти длину ветви астроиды

$x=2cos^3\frac t3$

$y=2sin^3\frac t3$

для $x \in [0,2]$

Для решения задачи использую формулу:

$\int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{\phi'(t)^2+\psi'(t)^2} dt$

где $\phi'(t)=x_t'=-2cos^2\fract3sin\frac t3t$
     $\phi'(t)=y_t'=2sin^2\frac t3cos\fract3$

Таким образом, используя математический пакет, получаем:

$L=\int\limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{4cos^4\frac t3sin^2\frac t3+4sin^4\frac t3cos^2\frac t3} dt=\frac 34$

Тут интересно не само решение, а результат. Дело в том, что длина не может быть равной 0.75, потому что, согласно графику астроиды (рис. ниже) длина одной ветки $L>2\sqrt2$!



Т.е. неправильна формула для расчета длины? Но я же её брал с методички... Направьте меня, пожалуйста

[ИСН]

Формула для расчёта длины - это, кажется, единственное, что тут правильно. Откуда брали формулу астроиды? Почему t/3? Может, t/11?

[VadimATP]

ИСН в сообщении #444293 писал(а):

Откуда брали формулу астроиды? Почему t/3? Может, t/11?

Это такое задание, согласно метод. указаниям

[Joker_vD]

Ну если $\frac t3$, то и пределы должны быть $\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$. Не забудьте в конце на $2$ домножить.

[svv]

Выходит, и формула для длины неправильная.
Зачем всё-таки они в условии задали $t/3$ ? Надо сразу от этого избавиться. Произносим слова "длина кривой не зависит от параметризации", вместо $t/3$ ставим везде какое-нибудь $u$, а пределы -- от $0$ до $\pi/2$.

[VadimATP]

Joker_vD в сообщении #444302 писал(а):

Ну если $\frac t3$, то и пределы должны быть $\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$

Ура! В результате получается 3, точно. Спасибо!
Я, видно, не понимаю самого смысла выставления пределов в данном интеграле. Спасибо

[svv]

Смысл такой. По какой кривой мы интегрируем? По одной ветви астроиды.
Кривая задана параметрически: $x=2\cos^3\frac t 3$, $y=2\sin^3\frac t 3$. У нее есть начальная и конечная точка.
При каком значении параметра $t$ получается начальная точка? При $t=0$, это точка $(2, 0)$. Пишем $t=0$ в нижний предел.
При каком значении параметра $t$ получается конечная точка? При $t=3\pi/2$, это точка $(0, 2)$. Пишем $t=3\pi/2$ в верхний предел.

[VadimATP]

svv в сообщении #444314 писал(а):

Смысл такой. По какой кривой мы интегрируем? По одной ветви астроиды.
Кривая задана параметрически: $x=2\cos^3\frac t 3$, $y=2\sin^3\frac t 3$. У нее есть начальная и конечная точка.
При каком значении параметра $t$ получается начальная точка? При $t=0$, это точка $(2, 0)$. Пишем $t=0$ в нижний предел.
При каком значении параметра $t$ получается конечная точка? При $t=3\pi/2$, это точка $(0, 2)$. Пишем $t=3\pi/2$ в верхний предел.

Спасибо, понял