Может ли этот интеграл быть отрицательным?

[svv]

Понятно, ewert, спасибо.

[svv]

ewert, Вы говорили о финитности $u(x)$? Но финитна у нас только $f(x)$.

[ewert]

svv в сообщении #442349 писал(а):

Вы говорили о финитности $u(x)$? Но финитна у нас только $f(x)$.

Это не важно. Нам надо лишь зацепиться за знакоопределённость операторов. Для оператора Лапласа для этого достаточно рассматривать финитные функции из его области определения. Для интегрального оператора (который автоматически окажется знакоопределённым как обратный к самосопряжённому знакоопределённому) -- из знакоопределённости вообще следует, в частности, и его знакоопределённость на финитных функциях.

[DLL]

svv, ewert, спасибо за доказательства.
Интересно все-таки можно ли доказать в обход использованию оператора Лапласа. Если задаться таким же вопросом относительно интеграла
$\int\limits_G {\int\limits_G {\frac{{f(x)f(y)}}{{\left| {x - y} \right|^{1/2} }}} dxdy}$
такая техника, по-видимому, уже не прокатит...

[ewert]

DLL в сообщении #442850 писал(а):

такая техника, по-видимому, уже не прокатит...

Не прокатит.

Я не в курсе способов доказательства положительности для именно интегральных операторов (да и просто даже матриц) более-менее общего вида. Наверное,там тоже есть какие-то трюки, но я их не в курсе.