интеграл (берется ли)

[spyphy]

Как думаете, берущийся ли это интеграл:
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} \frac {1}{1+t^2} dt $
Я не помню, можно ли их вычислять аналитически. Mathematica выдает какой-то слишко страшный ответ со спецфункциями. Но вообще это как бы преобразование Фурье, причем должен быть сходящимся, т.е. вроде как функция существует, причем она элементарная. Но вот мне не известно, можно ли найти ее вычислением именно этого интеграла, либо же нужно использовать другой способ.

[Полосин]

Интеграл берется очень легко, и притом кучей разных способов. Проще всего через вычеты. Ответ совсем простой, где вы (или г-жа Mathematica) углядели там спецфункции, непонятно.

[ewert]

Полосин в сообщении #441465 писал(а):

где вы (или г-жа Mathematica) углядели там спецфункции, непонятно.

Это просто. Автор подсунул Математике неопределённый интеграл, вместо определённого, вот она и постаралась...

[spyphy]

ewert в сообщении #441479 писал(а):

Полосин в сообщении #441465 писал(а):

где вы (или г-жа Mathematica) углядели там спецфункции, непонятно.

Это просто. Автор подсунул Математике неопределённый интеграл, вместо определённого, вот она и постаралась...

Как бы так, я ж это не сам придумал:

(Mathematica 5.2)

Ладно, попытаюсь еще сам решить.

[ewert]

Чудны дела твои, Господи.

Ладно, возьмите в качестве ответа $\pi\,e^{-|x|}$, и дело с концом.

Пыс. А вообще последнее Ваше сообщение вполне можно направить в раздел "ФизМатЮмор".

[spyphy]

Полосин в сообщении #441465 писал(а):

Проще всего через вычеты.

А, так вот для чего мы когда-то изучали эти вычеты... теперь понятненько :)

Только я здесь где-то модуль потерял по ходу...
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} \frac {1}{1+t^2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \frac {1}{(t-i)(t+i)} dt = 2 \pi i \sum\limits_{Im z > 0} res_{z} e^{-izx} \frac {1}{(z-i)(z+i)} = 2 \pi i \cdot res_{z=i} \cdot e^{-izx} \frac {1}{(z-i)(z+i)} = 2 \pi i \cdot \lim\limits_{z \to i} \cdot (z-i) e^{-izx} \frac {1}{(z-i)(z+i)} = 2 \pi i \cdot \lim\limits_{z \to i} \cdot e^{-izx} \frac {1}{z+i} = 2 \pi i \cdot e^{-i^2x} \frac {1}{i+i} = \pi e^x $

-- Ср май 04, 2011 14:48:59 --

А не могли бы подсказать какие еще есть способы? просто для интереса...

[ewert]

spyphy в сообщении #441590 писал(а):

Только я здесь где-то модуль потерял по ходу...

Просто Ваши выкладки корректны только для отрицательных иксов. А для положительных можно особо так далее и не суетиться: в исходном интеграле в силу соображений чётности/нечётности от всей комплексной экспоненты остаётся только косинус и, значит, результат интегрирования будет чётен по иксам.

[spyphy]

ewert в сообщении #441608 писал(а):

Просто Ваши выкладки корректны только для отрицательных иксов.

А как определить, что они не верны для $x>0$?
Там вроде как условие
$ \lim\limits_{z \to \infty, Im z >= 0} [zf(z)] = 0 $
выполнено для любых $x$. Или дело еще в чем-то?

[ewert]

spyphy в сообщении #441633 писал(а):

А как определить, что они не верны для $x>0$?

Условия леммы Жордана не выполняются. Т.е. экспонента в соотв. полуплоскости вместо того, чтоб чудовищно убывать -- напротив, чудовищно возрастает.

Можно, конечно, для исправления ситуации обратиться к альтернативной полуплоскости. Но гораздо проще в данном случае воспользоваться соображениями чётности.

[Полосин]

Интеграл $I=\int\limits_R\dfrac{e^{ixt}\,dt}{1+t^2}$ называется интегралом Лапласа. Различные способы его вычисления, кроме как через вычеты:
Первый способ. Записать $I=2\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}dt=2\int\limits_0^{+\infty}\cos(xt)dt\int\limits_0^{+\infty}e^{-s(1+t^2)}ds$ и изменить порядок интегрирования.
Второй способ. Найти $\int\limits_Re^{-ixt-|x|}dx$ и воспользоваться формулой обращения преобразования Фурье.
Третий способ. Пусть $x>0$. Деформируем $R$ в контур $L$ так, чтобы $Im\,t\to+\infty$, $Im\,t/|Re\,t|\to0$ при $t\in L$, $t\to\infty$, тогда $I=f(x)=\int\limits_L$, $f''(x)=f(x)-\int\limits_Le^{ixt}dt=f(x)$, $f(+0)=\pi$, $f'(+0)=i\int\limits_L\dfrac{t\,dt}{1+t^2}=-\pi$, $f(x)=\pi e^{-x}$.

[arseniiv]

ewert в сообщении #441554 писал(а):

Пыс. А вообще последнее Ваше сообщение вполне можно направить в раздел "ФизМатЮмор".

Правда, ну и ответец! А Mathematica 8 уже «умнее»! Она отвечает так: $\operatorname{ConditionalExpression}(e^{-\left| x \right|} \pi, x \in \mathbb R)$ (подправил для нормального вида), т. е. сразу ответ.
Может быть, и 5.2 упростила бы ответ, если ещё раз то выражение заставить упростить.