Вот берем первый интеграл проектируем ее на ось Oxy z=0 значит он будет=0??
Будет, но не по этой причине:

там (на поверхности) как раз более-менее какое угодно, но вот зато проекция участка поверхности на плоскость

оказывается линией, а не областью, т.к. эта поверхность параллельна оси

.