Как найти интеграл

[jemka]

Как найти интеграл
$\int e^{-x^2} (3x^2-2x^4)dx$ ?
Первообразная $ e^{-x^2} x^3 $ мне известна, но путь решения оставляет желать лучшего.
Может есть краткое и красивое решение?

[maxmatem]

По частям.

[caxap]

(Для ленивых)

Можно, кстати, не мучать себя непосредственнным интегрированием по частям (особенно если это надо делать многократно), а просто сообразить/угадать, какой должен быть вид у результата, а коэффициенты найти по методу неопределённых коэффициентов. (Этот способ часто рекомендует Демидович в "указаниях" в своём задачнике.) Ответ, конечно, нужно проверить дифференцированием.

[ewert]

jemka в сообщении #440360 писал(а):

Первообразная $ e^{-x^2} x^3 $ мне известна

Она тут Вам ничем не поможет. Этот неопределённый интеграл сводится к интегралу ошибок.

-- Сб апр 30, 2011 19:19:15 --

caxap в сообщении #440366 писал(а):

Ответ, конечно, нужно проверить дифференцированием.

Не "нужно", а "можно".

[jemka]

Путь для ленивых, предложенный сахаром и дал ответ.
Есть ли конкретные предложения?

[svv]

ewert писал(а):

jemka писал(а):

Первообразная $ e^{-x^2} x^3 $ мне известна

Она тут Вам ничем не поможет. Этот неопределённый интеграл сводится к интегралу ошибок.

Здесь полином $3x^2-2x^4$ подобран так, что erfы сокращаются.

[spaits]

caxap в сообщении #440366 писал(а):

(Для ленивых)

Можно, кстати, не мучать себя непосредственнным интегрированием по частям (особенно если это надо делать многократно), а просто сообразить/угадать, какой должен быть вид у результата, а коэффициенты найти по методу неопределённых коэффициентов. (Этот способ часто рекомендует Демидович в "указаниях" в своём задачнике.) Ответ, конечно, нужно проверить дифференцированием.

Именно так я и сделала. Наивысшую степень многочлена взяла $5$, многочлен умножила на $e^{-x^2}$, производную приравняла подынтегральной функции, получила, что все коэффициенты равны нулю, кроме коэффициента при $x^3$, равного $1$.
Итак, из предполагаемого ответа $(Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F)e^{-x^2}+const$ получился ответ: $x^3e^{-x^2}+C$.
В ответе $C$ - постоянная интегрирования, с неопределенным коэффициентом не связана. Проверка показывает, что ответ верен.

[svv]

spaits писал(а):

Итак, из предполагаемого ответа $(Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F)e^{-x^2}+const$ получился ответ: $x^3e^{-x^2}+C$.

Это чистое везение (устроенное, конечно, составителями задачи), что ответ не содержит $\operatorname{erf}(x)$, который к элементарным функциям не сводится. Взять тем же способом, например, $\int e^{-x^2} x^2 dx$, или хотя бы просто $\int e^{-x^2} dx$ уже не получится.

Если все-таки хочется именно этим методом, выкрутиться можно, добавив $\int e^{-x^2} dx$ с неопределенным коэффициентом в предполагаемую первообразную.

[jemka]

Очевидно, что решение обусловлено хорошим выбором полинома перед экспонентой.
Известно, что интеграл $\int{ e^{x^2}}dx$ не берется в элементарных функциях,
иначе зачем было бы табулировать нормальное распределение.
Метод неопределенных коэффициентов помогает, но, меня интересует относительно "красивое" решение.
Интересны конкретные предложения. Если по частям, то что берем за u?

[caxap]

(Оффтоп)

jemka = spaits?