Вариационное исчисление.

[maxmatem]

Найти экстремали функцианала

$\[ \begin{gathered} \Phi = \int\limits_0^{x_1 } {\frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {y}} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y(0) = 0 \hfill \\ y(x_1 ) = x_1 - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$
Решение.
Так как $\[ F = \frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {y} \]$ зависит только от $\[ {y,y'} \]$, то уравнение Эйлера имеет вид
$\[ F - y'F'_{y'} = c_1 \] $ или в нашем случаи$ \[ c_1^{} y^{} \sqrt {1 + (y')^2 } = 1 \]$
Теперь возведём равенство в квадрат и разделяя переменные имеем
$\[ \frac{{c_1^{} ydy}} {{\sqrt {1 - c_1^2 y^2 } }} = dx \]$
Решая данное д\у имеем $\[ y = \frac{{\sqrt {1 - c_1^2 (x + c_2 )^2 } }} {{c_1 }} \]$

Теперь необходимо найти константы $c_{1}$ и $c_{2}$
Здесь и возникает вопрос, вот скажем одно равенство можно взять из того, что $y(0)=0$ а вот второе где взять?

[bruno1]

maxmatem в сообщении #438707 писал(а):

$\[ y(x_1 ) = x_1 - 5 \hfill \\ \]$

Так дано же.

[maxmatem]

bruno1
Идея в том, что правый конец не зафиксирован. А если подставить как вы говорите то получится задача с закреплёнными концами.

-- Вт апр 26, 2011 01:21:01 --

[bruno1]

maxmatem в сообщении #438715 писал(а):

правый конец не зафиксирован

Тогда как понимать ваши ГУ ?

[maxmatem]

Ой!!!
bruno1
Я не прав. Исходя из ГУ ясно, что концы фиксированны.
Тогда ваш совет актуален.

Кстати а вы не проверяли, правильно ли я нашёл
$\[ y = \frac{{\sqrt {1 - c_1^2 (x + c_2 )^2 } }} {{c_1 }} \]$

[bruno1]

maxmatem в сообщении #438719 писал(а):

а вы не проверяли, правильно ли я нашёл

У меня получилось
$ (x-c_2)^2+c^2_1=y^2$

-- Вт апр 26, 2011 00:48:56 --

maxmatem в сообщении #438719 писал(а):

ясно, что концы фиксированны

По условию у вас функционал дан как интеграл с переменным верхним пределом, так что в некотором смысле он действительно свободен, но тем не менее правое ГУ на функцию есть.

P.S.
Что-то смущает меня мой вариант, он левому ГУ не удовлетворяет.
Потерял $-1$ нечетное число раз ).

-- Вт апр 26, 2011 00:54:33 --

Вот так лучше
$ (c_2-x)^2+y^2=c^2_1$

[maxmatem]

bruno1
у меня не так.

[maxmatem]

Вот мне не совсем ясно, у меня задача с подвижным концом или нет? надо ли использовать условие трансверсальности......

[maxmatem]

вопрос снят.

[bruno1]

maxmatem в сообщении #438858 писал(а):

у меня не так.

Да, я ошибся.
Вы уравнение правильно проинтегрировали.