Тригонометрическая задача от Константина Кнопа

[worm2]

Доказать, что $\sin 8^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 58^\circ = \sin 18^\circ\cdot\sin 24^\circ\cdot\sin 46^\circ$.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #437789 писал(а):

Доказать, что $\sin 8^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 58^\circ = \sin 18^\circ\cdot\sin 24^\circ\cdot\sin 46^\circ$.

Видимо, банальное вычисление в подходящем круговом поле не подойдёт, если эта задача для школьников.

[arqady]

worm2 в сообщении #437789 писал(а):

Доказать, что $\sin 8^\circ\cdot\sin 50^\circ\cdot\sin 58^\circ = \sin 18^\circ\cdot\sin 24^\circ\cdot\sin 46^\circ$.

Мой калькулятор даёт ошибку в двенадцатом знаке. Наверное, плывёт.

[RIP]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #437869 писал(а):

Мой калькулятор даёт ошибку в двенадцатом знаке. Наверное, плывёт.

PARI/GP говорит, что по крайней мере 100000 знаков совпадают. Наверно, всё таки верное равенство.

[arqady]

Да, верно! Хорошее упражнение по тригонометрии. И понятно, как такое придумывается.

[nnosipov]

arqady в сообщении #437925 писал(а):

Да, верно! Хорошее упражнение по тригонометрии. И понятно, как такое придумывается.

Нет ли там случайно правильного 20-угольника?

[arqady]

nnosipov в сообщении #437926 писал(а):

Нет ли там случайно правильного 20-угольника?

Нет! Всё очень обычно.

[nnosipov]

Если это обычная тригонометрия, то тогда что здесь нетривиального? Наклепать таких равенств можно сколько угодно (пока это пишу, уже штук сто насобиралось, среди них наверное есть что-нибудь более-менее неочевидное, если иметь в виду только школьную тригонометрию).

[arqady]

Наклепать, конечно, можно, но обнаружить идею, что можно подобрать множитель к $1-2\cos36^{\circ}+2\cos72^{\circ}=0$ так, чтобы воспользовавшись два раза тождеством $\cos\alpha+\cos(120^{\circ}+\alpha)=\cos(60^{\circ}+\alpha)$, появилась бы возможность свернуть получившееся равенство в равенство двух произведений - это здорово!

[nnosipov]

Фокусы на уровне формулы сложного радикала, не сложнее. В школьной тригонометрии всё самое сложное --- это не более чем вычисление $\cos{36^\circ}$. Ну, может быть, гауссовы суммы для небольших простых.