абсолютная/частичная сходимость

[tavrik]

Существуют ли функции f, g так, что:

$$\int_{a}^\infty f(x) dx$$

и

$$\int_{a}^\infty g(x) dx$$

- сходятся частично,

а интеграл

$$\int_{a}^\infty f(x)g(x) dx$$

- абсолютно?



не могу найти контр-пример - а точнее пример, в этом случае.

думаю, что можно найти...что то с $(-1)^n$ на функцию сходится

?

Либо, я не прав и нужно доказывать(видимо, от противного).

[SpBTimes]

Ну например:
$f(x) = \frac{sin(x)}{x}$
$g(x) = \frac{cos(x)}{x}$

[Dan B-Yallay]

Что значит интеграл частично сходится?? Половина интеграла сошлась, а остальное - нет?
[off]Или например

[tavrik]

спбтаймс, спасибо, сейчас подумаю...проверю.

Дан
имелось ввиду, если интеграл сходится, но при этом не сходится абсолютно.
PS
ваши интегралы, по моему, не удовлетворяют первому условию.

[Dan B-Yallay]

Зато КАК удовлетворяют второму.... А с первым да, не удовлетворяют. Зевнул малость.

[ewert]

tavrik в сообщении #437810 писал(а):

сходятся частично,

В России сходиться частично не принято. Можно лишь условно.

А для примера, кстати, достаточно и $f(x)=g(x)=\frac{\sin x}{x}$. Хотя и предыдущий вариант, естественно, тоже сгодится.

Вообще какой-то странный вопрос (непонятно, как он мог прийти в голову): странно было бы, если б не нашлось -- ведь перемножение двух убывающих сомножителей способно лишь усилить сходимость.

[tavrik]

да, вы правы. задача, оказалось, не содержит никакого подвоха.
терминологию учту.

[ИСН]

ewert, вопрос-то хороший. Матан часто противоречит бытовой интуиции, а чтобы выработать матанную интуицию, как раз и надо повозиться с такими штуками. Ваши слова тут не помогают, а на противоположный, например, вопрос (есть ли две такие функции, что интегралы от них сходятся абсолютно, а от их произведения только условно) - даже и мешают. Человек подумает: "да ну, чушь, сходимость должна усиливаться".
Чушь ли?

[tavrik]

по моему, даже если один абсолютно сходится - этого должно хватить для абсолютного схождения их произведения.

[ИСН]

Угу-угу.