Торы как прямые произведения

[bruno1]

Munin в сообщении #436440 писал(а):

так что топологически говоря, и то и другое тор

Вот меня как раз в топологическом смысле и интересовало. Спасибо.
Наверно я неправильно использовал термин вложение.
А как тогда правильно назвать такое отображение одного многообразия на другое? Проекция? Сечение?

Тогда второй вопрос. Правильно ли я подозреваю, что бутылка Клейна это тот же самый тор в $R$^4?
В 4-пространстве наверно они переводятся друг в друга какой-нибудь деформацией.

[Munin]

bruno1 в сообщении #436471 писал(а):

Наверно я неправильно использовал термин вложение.

Вроде, правильно.

bruno1 в сообщении #436471 писал(а):

А как тогда правильно назвать такое отображение одного многообразия на другое? Проекция? Сечение?

Есть вложение и погружение. Честно говоря, я не знаю, что из них что.

Вы только не путайте. У вас речь шла о целых трёх торах:
- абстрактный, ни во что не вложенный вообще
- вложенный в трёхмерное пространство, неплоский
- вложенный в четырёхмерное пространство, плоский в смысле внутренней кривизны (то есть, изогнутый наподобие листа бумаги, без растяжений и сжатий).

Обозначение $S^1\times S^1$ может относиться и к первому, и к третьему, и по умолчанию - к первому.

bruno1 в сообщении #436471 писал(а):

Правильно ли я подозреваю, что бутылка Клейна это тот же самый тор в $R$^4?В 4-пространстве наверно они переводятся друг в друга какой-нибудь деформацией.

Нет. Они по-разному внутренне устроены, и поэтому переведены друг в друга быть не могут. Точно так же как, например, по-разному устроены цилиндрическое кольцо и лента Мёбиуса. Их нельзя перевести одно в другое ни в трёхмерном, ни в четырёхмерном, ни в скольки-угодно-мерном пространстве. Понятно, почему?

[bruno1]

Munin в сообщении #436476 писал(а):

- абстрактный, ни во что не вложенный вообще

Вроде на упоминал про такое. Я представлял себе прямое произведение окружностей вместе с прямым произведением пространств в которых окружности заданы. Таким образом тор сразу оказывается вложен в четырехмерное пространство, по построению. А это что?

Munin в сообщении #436476 писал(а):

Понятно, почему?

С кольцом и лентой все наглядно. Одна поверхность ориентируемая, другая - нет. Но буду благодарен если поясните более формально. Кроме того, совсем не очевидны свойства этого тора в $R^4$, вдруг он тоже не орентируемый.

Munin в сообщении #436476 писал(а):

Нет. Они по-разному внутренне устроены, и поэтому переведены друг в друга быть не могут.

Какая характеристика (или инвариант?) различает тор заданный $R^4$ от бутылки Клейна?
Существует представление бутылки Клейна как прямого произведения? Очень бы прояснило.

[Kallikanzarid]

Жду вопроса про копроизведение в духе "дяденька, чем отличается сфера во внутренности тора от тора во внутренности сферы"? :)

[bruno1]

Kallikanzarid в сообщении #436542 писал(а):

копроизведение

Я с категориями не знаком к сожалению. В обсуждаемом контексте я бы думал о фактормножестве Клейновой посудины по окружности. Так где тут вы усматриваете почву к разговору о копроизведении?

Kallikanzarid в сообщении #436542 писал(а):

сфера во внутренности тора

Внутренность тора действительно сфера? Всегда думал, что сфера нечто односвязное.

Kallikanzarid в сообщении #436542 писал(а):

тора во внутренности сферы

Как вы там одно в другом усмотрели? Поясните, я вам на слово поверю.

[Kallikanzarid]

@bruno1, я пошутил :) Произведение топологических пространств - обычное прямое произведение, копроизведение топологических пространств - дизъюнктное объединение. Вот я и ожидал, что кто-то спросит про разницу между сферой, помещенной в область, ограниченную тором, и наоборот :)

А все потому, что вложения путают с самими пространствами :))

[Munin]

Представьте себе полуоткрытый интервал $[0,1).$ И представьте себе, что к нему добавили правило, что его концы "склеены", если идти в сторону 1, то окажешься в 0. А именно, последовательность вида $1-\varepsilon_n$ сходится, и её предел 0 (если $\varepsilon_n\to 0$), последовательность, состоящая из членов $1-\varepsilon_n,$ $0+\delta_n,$ сходится и имеет пределом 0, множества $[0,\delta)\cup(1-\varepsilon,1)$ являются окрестностями точки 0 и во всём ведут себя как непрерывные интервалы "как будто $(1-\varepsilon,\delta)$", и так далее. (Я не даю строгого определения, а пытаюсь объяснить свойства такого объекта.)

Такое множество называется окружностью (одномерной сферой) $S^1.$

Тор $S^1\times S^1$ - это произведение таких окружностей, то есть квадрат на плоскости $[0,1)\times[0,1),$ у которого склеены края: левый с правым, верхний с нижним.

Бутылка Клейна - это квадрат на плоскости, у которого склеены края: левый с правым, верхний с нижним перекрученно. (То же самое, если левый с правым перекрученно, а верхний с нижним не перекрученно.)

Цилиндрическое кольцо - это квадрат на плоскости, у которого склеены края левый с правым не перекрученно. Лента Мёбиуса - это квадрат на плоскости, у которого склеены края левый с правым перекрученно.

В рамках таких определений изучают внутреннюю топологию данных объектов. В частности, именно для таких определений формулируют, что такое ориентируемость, односвязность и т. п. Для изучения таких объектов основной инструмент - алгебраический, группы гомотопий и группы гомологий. Эти группы - инварианты, которые полностью характеризуют топологию этих объектов.

[Kallikanzarid]

Кольцо и полоска Мёбиуса - тут интересней, т.к. есть простые примеры вложений, не являющихся гомотопно эквивалентными.

Цитата:

Эти группы - инварианты, которые полностью характеризуют топологию этих объектов

Вы уверены, что полностью?

[bruno1]

Kallikanzarid в сообщении #436664 писал(а):

А все потому, что вложения путают с самими пространствами

Как раз с этим я и пытаюсь разобраться.
Т.е.Munin уже указал, что

Munin в сообщении #436476 писал(а):

Обозначение $S^1 X S^1$ может относиться и к первому, и к третьему, и по умолчанию - к первому.

Т.е. кроме самого прямого произведения $S^1 X S^1$ нужно еще указывать дополнительно отображение.
Собственно об этом я с самого начала и спрашивал

bruno1 в сообщении #436181 писал(а):

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

Если тор $T^2$ рассмотреть как подмножество в $\mathbb{R}^4$:

$$ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:\,x^2+y^2=1,\,z^2+t^2=1\}, $$

А как осуществляется вложение этого дела в $\mathbb{R}^3$ ?

Здесь Munin уже указал, что при вложения тора из $\mathbb{R}^4$ в $\mathbb{R}^3$ возникают всякие артефакты изначальному тору не присущие.
Это мне понятно. Поэтому и ставил вопрос об отображении. Так как, абстрактный, по вашему, тор один, а его "реализации" различны. Конкретизация вложения фиксирует артефакты $\mathbb{R}^3$-тора?

Да, и вот насчет этого

Munin в сообщении #436440 писал(а):

Что удивительного в том, что эти два тора "другие"?

По здравом размышлении уже и не удивительно, но продолжаю осмысливать.

-- Вт апр 19, 2011 18:32:43 --

Munin в сообщении #436476 писал(а):

Есть вложение и погружение. Честно говоря, я не знаю, что из них что.

Действительно очень тонкое различие, я не осилил пока.

Munin в сообщении #436681 писал(а):

В рамках таких определений изучают внутреннюю топологию данных объектов.

Это, я так понял, пояснение к

Munin в сообщении #436476 писал(а):

- абстрактный, ни во что не вложенный вообще

Тогда да, никуда никого не вкладывают.
Со связностью понятно, но не думал, что можно ориентируемость тут задать. Интересно.
Единственное замечание, что конструкция

Munin в сообщении #436681 писал(а):

Бутылка Клейна - это квадрат на плоскости, у которого склеены края: левый с правым, верхний с нижним перекрученно.

интуитивно использует дополнительное третье измерение для этого самого "перекручивания", хотя правильнее было бы говорить о различных типах отождествления точек лежащих на краю квадрата. Но я понял. Спасибо.

Kallikanzarid в сообщении #436691 писал(а):

т.к. есть простые примеры вложений, не являющихся гомотопно эквивалентными.

От чего просто не привести эти простые примеры?

PS
Вопрос о факторизации бутылки Клейна по окружности похоже утонул?

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #436691 писал(а):

Вы уверены, что полностью?

Оговорился. Я сам это всё очень "на пальцах" представляю, и плаваю.

bruno1 в сообщении #436720 писал(а):

Со связностью понятно, но не думал, что можно ориентируемость тут задать.

Ориентируемость задаётся так: мы строим в некоторой точке репер - для двумерного многообразия (лист Мёбиуса) это будет, скажем, правая пара векторов. И тащим его по многообразию каким-то способом, и возвращаем в исходную точку. Для листа Мёбиуса он может сменить ориентацию, для цилиндрической полоски - нет.

bruno1 в сообщении #436720 писал(а):

Единственное замечание, что конструкция ... интуитивно использует дополнительное третье измерение для этого самого "перекручивания", хотя правильнее было бы говорить о различных типах отождествления точек лежащих на краю квадрата.

Я именно о таком "перекрученном отождествлении" и говорил. А точных строгих слов я не произношу, сразу предупредил.

bruno1 в сообщении #436720 писал(а):

Вопрос о факторизации бутылки Клейна по окружности похоже утонул?

Мнэ, а как вы себе это представляете? Что вообще для вас результат "факторизации"? Можно из бутылки Клейна сделать расслоение, такое что базой и слоем будут окружности, но это расслоение будет не равно прямому произведению двух окружностей - и именно в этом "не равно" и будет заключаться смысл "бутылкоклейновости". Так что в обратную сторону, точно так же, как факторизацией прямого произведения можно перейти к его сомножителям, факторизовать бутылку Клейна нельзя.

[bruno1]

Munin в сообщении #436812 писал(а):

Мнэ, а как вы себе это представляете? Что вообще для вас результат "факторизации"?

Ну, наверно, стандартно себе представляю. Ввожу отношение эквивалентности, все точки вдоль окружности отождествляю (слой по вашему), оставляю по одному представителю от слоя, что осталось обзываю фактормножеством.
Останется собственно окружность которая база, по вашему.

Munin в сообщении #436812 писал(а):

точно так же, как факторизацией прямого произведения можно перейти к его сомножителям, факторизовать бутылку Клейна нельзя

Конечно "бутылкоклейновость" будет в результате потеряна. И все же мы должны зафиксировать, что в результате факторизации тора и Клейна по $S^1$ получится одно и то же.

P.S.
Нашел в книжке по топологии ("Элементарная топология" Виро и Ко), что саму бутылку Клейна нынче записывают как фактормножество
$I^2/[(t,0)\sim(t,1),(0,t)\sim(1,1-t)] $ это собственно то, что вы и утверждали

Munin в сообщении #436681 писал(а):

Бутылка Клейна - это квадрат на плоскости, у которого склеены края: левый с правым, верхний с нижним перекрученно.

, но более формально.
3-тор, для сравнения, это вот что
$I^2/[(0,t)\sim(1,t),(t,0)\sim(t,1)] $.
Кроме того, Клейн может быть задан как $S^1 X S^1/[(z,w)\sim(-z,w*)]$!
Это уже ближе к тому чего мне хотелось, т.е. уже дана дополнительная информация как из 4-тора делаем 3-тор или Клейна.
Но по мне, так птичий язык и явного построения отображения 4-тора в $R^3$ не заменяет.

Кроме того, несколько странно сначала "перемножать", а потом "делить" вместо того,
чтобы более рационально определить само "умножение". А можем мы определить тор, как прямое произведение гладких окружностей, а Клейна, как прямое произведение окружности на окружность с изломом (наверно это уже не гладкое множество...)?

[Munin]

bruno1 в сообщении #436875 писал(а):

Останется собственно окружность которая база, по вашему.

Ну тогда неважно, что факторизовать, бутылку Клейна или просто никак не связанные окружности. Фишка в том, что для топологических пространств произведение значит несколько больше, чем для множеств.

bruno1 в сообщении #436875 писал(а):

И все же мы должны зафиксировать

Ну пожалуйста. Распечатайте и повестьте на стенку. Радости-то?

bruno1 в сообщении #436875 писал(а):

Но по мне, так птичий язык

Может, тогда вообще нафиг вам не сдалась эта топология?

[Kallikanzarid]

@bruno1, еще раз - топологические пространства не зависят от их вложения. Тор строится как факторпространство $T^n := \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ пространства $\mathbb{R}^n$ по действию группы $\mathbb{Z}^n$ сдвигами.

[Munin]

Тор можно построить разными способами, и среди них нет "единственно верного". То есть, $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ не противоречит $I^2/[(0,t)\sim(1,t),(t,0)\sim(t,1)].$

Но, bruno1, обратите внимание, это не 3-тор, это 2-тор. Он может быть вложен и в 3-мерное, и в 4-мерное, и в $\forall n\geqslant 3$-мерное пространство. А в 4-мерное может быть вложен уже и 3-тор, внутренняя размерность которого равна трём.

[bruno1]

Munin в сообщении #436991 писал(а):

обратите внимание, это не 3-тор, это 2-тор

Спасибо.
Ну, конечно я был неточен. Я подразумевал под 3-тором, 2-тор вложенный в $R^3$.
Конечно настоящий 3-тор это вот что
$I^2/[(0,t_1,t_2)\sim(1,t_1,t_2),(t_1,0,t_2)\sim(t_1,1,t_2),(t_1,t_2,0)\sim(t_1,t_2,1)] $.

-- Ср апр 20, 2011 20:37:01 --

Kallikanzarid в сообщении #436902 писал(а):

Тор строится как факторпространство ... по действию группы

Это намного менее птичий язык

Но вопрос про вложение для меня остался непроясненным.