Разложения действительного числа

[amfisat]

Всем привет!

Как известно, любое действительное число из промежутка $[0;1]$можно однозначно представить так:

$t=\frac {\epsilon_1(t)} 2 + \frac {\epsilon_2(t)} {2^2} + ...$, где $\epsilon_i \in \{0;1\}$. Чтобы всем было удобно и хорошо, ввели функции Радемахера $r_i(t)=1-2\epsilon_i(t)$, $i \in \mathbb{N}$, которая принимает значения $-1$ и $1$.

Вот мне стало интересно: а ведь неужели любое действительное число из того же промежутка нельзя представить в виде $t=\frac {\gamma_1(t)} 3 + \frac {\gamma_2(t)} {3^2} + ...$, где $\gamma_i \in \{0;1;2\}$?

И вслед за этим вопросом вполне естественно возник следующий: а существует ли аналог функциям Радемахера для такого, троичного представления числа и если да, то как они выглядят?

Я так понял, что разложить действительно можно и придумал функцию: $s(t)=1-\gamma$, которая принимает значения $0, 1, -1$. Но мне она не нравится, поскольку функция Радемахера обладает интересным свойством, которым не обладает моя функция: $1-2t=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac {r_i(t)} {2^i}$.
Как можно видоизменить мою функцию, чтобы она обладала похожим свойством?

[Gortaur]

Разумеется, можно любое число разложить по любому натуральному основанию кроме единицы используя остатки (то есть для трех $0,1,2$) - это же представление числа в той или иной системе счисления. Зачем только Вам понадобилось такое свойство функции Радемахера и почему оно интересно?

[amfisat]

Цитата:

почему оно интересно?

А почему бы и нет? - на мой взгляд, интересно.

Цитата:

Зачем только Вам понадобилось такое свойство функции Радемахера

Я подумал, что, раз функции Радемахера для двоичного разложения обладают таким свойством, то почему бы и функциям, связанным с троичным, 4-чным, ... разложениями также не обладать похожим свойствам?

Я интуитивно уверен, что существует некий аналог этим функциям, только вот придумать их пока не могу, о чем и прошу помощи.

[AD]

Да есть, конечно, ряды а-ля Уолша по любому основанию. Только, разумеется, надо брать не $\{0,1,-1\}$ и пр., а комплексные корни из единицы:

$$r_j(0{,}x_1x_2x_3\ldots)=e^{2\pi i\frac{x_j}{p}}$$

Можно и по переменному основанию. См., например, здесь, стр.28 и далее.

[svv]

amfisat писал(а):

Как известно, любое действительное число из промежутка $[0;1]$ можно однозначно представить так

Не совсем однозначно. Например, $1/2$ можно представить двумя способами:

$$\frac 1 2 + \frac 0 {2^2} + \frac 0 {2^3} + \frac 0 {2^4} + ...$$

$$\frac 0 2 + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^3} + \frac 1 {2^4} + ...$$

[Henrylee]

svv в сообщении #436600 писал(а):

amfisat писал(а):

Как известно, любое действительное число из промежутка $[0;1]$ можно однозначно представить так

Не совсем однозначно. Например, $1/2$ можно представить двумя способами:

$$\frac 1 2 + \frac 0 {2^2} + \frac 0 {2^3} + \frac 0 {2^4} + ...$$

$$\frac 0 2 + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^3} + \frac 1 {2^4} + ...$$

Обычно делают оговорку "с бесконечным количеством нулей"

[AD]

Собственно, когда речь заходит об этих всех ваших радемахерах, нередко предпочитают считать, что это таки разные числа. Соответственно, немножко меняется топология происходящего (вместо отрезка получается канторова пыль какая-нибудь, зависящая от системы счисления), но зато всё однозначно становится, и можно шарахать двойственностью Понтрягина и прочей всякой такой наукой.