Режем квадрат

[Xenia1996]

На математическом кружке "Absolute Infinite Plus 1" предлагалась следующая задача:

При каких натуральных $n$ можно разрезать квадрат на квадраты $n$ попарно различных размеров так, чтобы квадратов каждого размера было поровну? Ответ обосновать.

[ИСН]

Тут какое-то кидалово. Если все квадраты - попарно разных размеров, то каждого размера будет только один квадрат. Тем самым их, хе-хе, поровну.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #436283 писал(а):

Если все квадраты - попарно разных размеров, то каждого размера будет только один квадрат.

Я не написала, что все квадраты попарно разных размеров.

[ИСН]

Ах, вон что. Да, конечно.
Но тогда у нас как-то дофига свободы, так что ответ смахивает на "всегда". Ну, вот 2. Возьмём квадрат 10x10. Что, разве сложно упихать туда 20 квадратиков 2x2, а потом досыпать однушек до верха?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #436286 писал(а):

Ах, вон что. Да, конечно.
Но тогда у нас как-то дофига свободы, так что ответ смахивает на "всегда". Ну, вот 2. Возьмём квадрат 10x10. Что, разве сложно упихать туда 20 квадратиков 2x2, а потом досыпать однушек до верха?

Ну хорошо, это при $n=2$. А, скажем, при $n=2011$?

[ИСН]

Да как-то так. Квадратики пусть отличаются в целое число раз, чтобы там не вылезали торчащие из кладки углы и всякие глупости. То есть размеры будут: $1,2,\dots,2^{2010}$. А большой квадрат, соответственно, будет со стороной $2^{2010}\cdot{4^{2011}-1\over3}$. (Первый множитель - чтобы даже самые большие из маленьких квадратиков укладывались целое число раз по стороне; второй - чтобы площадь кругло делилась на понятно что.)
Ну и там как-нибудь.

-- Пн, 2011-04-18, 15:18 --

Собственно, там уже можно тупо заливать полосами.

[Xenia1996]

Вот моё решение.

При $n=2$
Берём два единичных квадрата, склеиваем по стороне и приклеиваем к получившимуся прямоугольнику ещё два квадрата $2\times 2$. Получаем прямоугольник $5\times 2$, из таких складываем квадрат $10\times 10$.

При $n=3$
Берём два единичных квадрата, склеиваем по стороне и приклеиваем к получившимуся прямоугольнику ещё два квадрата $2\times 2$. Получаем прямоугольник $5\times 2$, приклеиваем к нему два квадрата $5\times 5$, получаем прямоугольник $12\times 5$, из таких складываем квадрат $60\times 60$.

При $n=k+1$
К прямоугольнику, получившемуся в пункте $k$ приклеиваем два квадрата со стороной, равной стороне прямоугольника. Из получившихся прямоугольников складываем квадрат.