Сходимость функциональных последовательностей и рядов

[give_up]

Помогите узнать, сходится ли равномерно на множестве $[0;1]$ функциональная последовательность $\[{f_n}(x) = x\sin \frac{1}{{{x^2}{n^2}}}\]$. Я пробовал найти производную, но она страшноватая, пробовал оценить сверху, но при оценке никак не получается избавиться от иксов. Как можно правильно доказать, что $\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty \,\,x \in \,\,\,E} |{R_n}(x)| = 0\]$ ?

Еще задача: найти радиус сходимости ряда $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{(2 + i\sqrt 5 )}^n}}}{{{{(3 - i\sqrt 7 )}^{2n}}}}} {(z - i)^{3n}}\]$
Вроде нужно действовать по формуле $\[R = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } |{a_n}{|^{\frac{1}{{3n}}}}}} = \left| {\frac{{{{(3 - i\sqrt 7 )}^{2/3}}}}{{{{(2 + i\sqrt 5 )}^{1/3}}}}} \right|\]$. Но как отсюда можно получить ответ $\[R = 2\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}\]$, я не представляю, подскажите.

[Sonic86]

Модули комплексных чисел умеете считать?
Хотя у меня при этом получается другой радиус.

[mihailm]

give_up в сообщении #435701 писал(а):

Помогите узнать, сходится ли равномерно на множестве $[0;1]$ функциональная последовательность $\[{f_n}(x) = x\sin \frac{1}{{{x^2}{n^2}}}\]$. Я пробовал найти производную, но она страшноватая, пробовал оценить сверху, но при оценке никак не получается избавиться от иксов
...

Про оценку сверху - напишите что у вас там получается или не получается

[give_up]

Sonic86
Я решился в вольфраме этот модуль высчитать, и там вышло в ответе комплексное число из которого видимо посчитали радиус по формуле $\[R = \sqrt {{\mathop{\rm Re}\nolimits} z + {\mathop{\rm Im}\nolimits} z} \] $ в полярных координатах. И он как раз равен $\[2\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}\]$

mihailm
У меня вышло, что $\[x\sin \frac{1}{{{x^2}{n^2}}} \le x*\frac{1}{{{x^2}{n^2}}} = \frac{1}{{x{n^2}}}\]$. Для вычисления предела по $n$ нужно сначала найти $\[\mathop {\sup }\limits_{x \in E} \frac{1}{{x{n^2}}}\]$. Но я не знаю какой взять $x$ для нахождения $\[\mathop {\sup }\limits_{x \in E} \frac{1}{{x{n^2}}}\]$, ведь $x=0$ брать нельзя, а если брать другой конкретный $\[x_0 \ne 0\]$, то он не будет удовлетворять условию $\[\mathop {\sup }\limits_{x \in E} \frac{1}{{x{n^2}}}=\mathop {\sup }\limits_{x \in E} \frac{1}{{x_0{n^2}}}\]$

[ewert]

Вольфрам считать модули умеет. И Вы тоже сумеете, и сосчитаете даже в уме, если вспомните, что модуль частного есть частное модулей и что модуль степени есть степень модуля.

Что касается последовательности -- разбейте $[0;1]=[0;\delta]\cup[\delta;1]$. По любому $\varepsilon$ выберите $\delta=\delta(\varepsilon)$ так, чтобы всё было равномерно мало на первом промежутке, а потом по $\varepsilon$ и уже выбранной $\delta$ выберите границу для $n$ так, чтобы выше неё всё было равномерно мало и на втором.

[obar]

Лучше так:

$$ x\sin\frac{1}{x^2n^2}\leq x \quad \mbox{если} \quad x<1/n $$

и

$$ x\sin\frac{1}{x^2n^2}\leq \frac{1}{xn^2} \quad \mbox{если} \quad x>1/n $$

откуда очевидна равномерная сходимость.

[give_up]

obar
Доведу до конца, вот что вышло:
$\[\begin{array}{l} \forall n \ge 2;\forall x,0 < x < \frac{1}{n}:\,\,|{R_n}(x)| = \left| {x\sin \frac{1}{{{x^2}{n^2}}}} \right| \le x < \frac{1}{n} \to 0,\,\,n \to \infty \\ \forall n \ge 2;\forall x,\frac{1}{n} < x < 1:\,\,\,|{R_n}(x)| = \left| {x\sin \frac{1}{{{x^2}{n^2}}}} \right| \le \frac{1}{{x{n^2}}} \le \frac{1}{n} \to 0,\,\,n \to \infty \end{array}\]$
Верно?

[obar]

Верно.