Правило Лопиталя

[Ёж]

Вычислить предел
$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x}$.

Применяя правило Лопиталя, получаю
$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x}=(-\infty+\infty) =\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{\frac{1}{x}}+\frac{1}{e^x}\right) =\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{e^x+\frac{1}{x}}{\frac{e^x}{x}} =\left(\frac{0}{0}\right)=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{ \left(e^x+\frac{1}{x}\right)'}{\left(\frac{e^x}{x}\right)'}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{ e^x-\frac{1}{x^2}}{\frac{e^x x-e^x}{x^2}}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{ x^2e^x-1}{e^x x-e^x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{ x^2-\frac{1}{e^x}}{x-1}=\left(\frac{0}{0}\right)=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{ \left( x^2-\frac{1}{e^x}\right)'}{\left(x-1\right)'}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2 x+\frac{1}{e^x}}{1}...$

[Sasha2]

Зачем так длинно.
Простая подстановка $x=-y$ автоматически приводит к решению без всякого Лопиталя.

[Ёж]

Sasha2 в сообщении #434352 писал(а):

Зачем так длинно.
Простая подстановка $x=-y$ автоматически приводит к решению без всякого Лопиталя.

Там же снова получается неопределенность!

[myra_panama]

а если так:
$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{xe^x+1}{e^x}$
ooooops тоже не так.....

[Tlalok]

myra_panama в сообщении #434383 писал(а):

а если так:
$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{xe^x+1}{e^x}$
ooooops тоже не так.....

А что там не так?
Найти производные числителя и знаменателя. А затем сократить на $e^x$

[Ёж]

Tlalok в сообщении #434395 писал(а):

myra_panama в сообщении #434383 писал(а):

а если так:
$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{xe^x+1}{e^x}$
ooooops тоже не так.....

А что там не так?
Найти производные числителя и знаменателя. А затем сократить на $e^x$

здесь уже в числителе неопределенность!

[Tlalok]

Ёж в сообщении #434397 писал(а):

здесь уже в числителе неопределенность!

И правда. Это моя ошибка, поспешил.
Тогда раскройте неопределенность в числителе отдельно и посмотрите, что получится.

[myra_panama]

Ёж ответ по моему $-\infty$ , правильно ?

[Joker_vD]

$\lim\limits_{x \to -\infty} x+e^{-x} = \lim\limits_{x \to +\infty} e^{x}-x$. И чему бы это может быть равно, а?

[Ёж]

myra_panama в сообщении #434402 писал(а):

Ёж ответ по моему $-\infty$ , правильно ?

по графику получается $+\infty$

[svv]

$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x}-x=\lim\limits_{x \to +\infty} x(\frac{e^x}x-1)$
Теперь, если хочется именно Лопиталем, находим по Лопиталю $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}1=+\infty$. Теперь у нас $(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$.

[SpBTimes]

А что, мы не знаем, что экспонента растёт быстрее любой степенной?
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x}(1 - \frac{x}{e^x}) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x}$

[Ёж]

svv в сообщении #434434 писал(а):

$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x}-x=\lim\limits_{x \to +\infty} x(\frac{e^x}x-1)$
Теперь, если хочется именно Лопиталем, находим по Лопиталю $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}1=+\infty$. Теперь у нас $(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$.

Спасибо! Разобрался!

SpBTimes в сообщении #434438 писал(а):

А что, мы не знаем, что экспонента растёт быстрее любой степенной?
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x}(1 - \frac{x}{e^x}) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x}$

Это я знаю!

Еще один вопрос: почему нельзя применить правило Лопиталя так, как применял его я в самом начале?

[SpBTimes]

Да можно, только оно, как я вижу, мало помогло.