Многочлен.. (C6 ЕГЭ)

[keksman]

Доброго времени суток, друзья.
Встретился с такой вот задачкой. Написано, что это c6 из ЕГЭ. (c6 вроде бы самая сложная)
Подскажите, как решить? Все мои попытки захлебывались на первом шаге, не знаю даже с чего правильно начинать.

Задача:
Квадратный трёхчлен $f\left( x \right)=x^{2}+px+q$ имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке $x=11$ являются простыми числами. Найти корни трехчлена.

Спасибо!

[gris]

Начните с теоремы Виета и анализа вариантов чётности/нечётности корней.

[venco]

Представьте трёхчлен как произведение линейных множителей. Это произведение при $x=11$ должно быть простым. Дальше останется не много вариантов.

[keksman]

Хм, кажется я торможу.
Исходя из условия задачи я получил вот такую вот систему различный условий:

$\left\{\begin{array}{cc} p^{2}-4q>0 & \\ 121+11p+q\; -\; Z & \\ f\left( x_{1} \right)\; -\; Z & \\ x_{1}+x_{2}=-p & \\ x_{1}\cdot x_{2}=q & \end{array}\right$

( $- Z$ в смысле целое)

И что дальше с ней делать?:)

[Andrey173]

-q, где q простое натуральное число, считается простым?
В википедии написано, что только натуральные числа могут быть простыми

[gris]

Надеюсь, venco не будет ругаться за разжёвывание его идеи
Уравнение имеет два корня, поэтому раскладывается в произведение двух двучленов, возможно и равных.
Пусть корни равны $a$ и $b$. Одно из чисел простое.
Тогда $x^2+px+q=(x-a)(x-b)$. При $x=11$ имеем $(11-a)(11-b)=$ простое число. Да, оно натуральное, то есть целое и положительное.
Произведение двух целых чисел — простое число! Может ли такое быть? Ну разве если один из сомножителей равен либо ..., либо ...
Допустим, что первое. Но тогда первый корень не прост. Значит прост второй. И...
Значит, второе. Ну и так далее.

Кажется я всё правильно изложил и даже с обозначениями корней угадал.

[venco]

keksman в сообщении #432558 писал(а):

Хм, кажется я торможу.
Исходя из условия задачи я получил вот такую вот систему различный условий:

$\left\{\begin{array}{cc} p^{2}-4q>0 & \\ 121+11p+q\; -\; Z & \\ f\left( x_{1} \right)\; -\; Z & \\ x_{1}+x_{2}=-p & \\ x_{1}\cdot x_{2}=q & \end{array}\right$

( $- Z$ в смысле целое)

И что дальше с ней делать?:)

Не надо этого делать. Забудьте про $p$ и $q$.
Пусть корни $a$ и $b$, причём $a$ - простое, тогда...

-- Пт апр 08, 2011 11:49:09 --

gris в сообщении #432565 писал(а):

Кажется я всё правильно изложил и даже с обозначениями корней угадал.

Это я угадал. Вы быстрее написали.

[keksman]

Цитата:

Ну разве если один из сомножителей равен либо ..., либо ...

Вот тут не очень понял.

Если $(11-a)(11-b)=$простое число, то это значит, что либо b, либо a равно десяти.
Разве есть еще какие-то варианты?

[venco]

keksman в сообщении #432608 писал(а):

Цитата:

Ну разве если один из сомножителей равен либо ..., либо ...

Вот тут не очень понял.

Если $(11-a)(11-b)=$простое число, то это значит, что либо b, либо a равно десяти.
Разве есть еще какие-то варианты?

Есть.

[gris]

Есть варианты ещё.
Но Вы вначале этот вариант разберите. Ну пусть один корень равен 10. Тогда второй должен быть простым числом, причём каким — чётным или нечётным? Я бы посоветовал порассуждать, а не просто перебрать 7 возможных вариантов.