Общая касательная на две окружности

[math_lover]

Здравствуйте

Не могу понять, хотя чувствую, что правда где-то рядом, как вычислить касательную на данные две окружности:

$\[\begin{array}{l} {\left( {x - 25} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} = {30^2}, \\ {\left( {x - 105} \right)^2} + {\left( {y - 85} \right)^2} = {50^2}. \\ \end{array}\]$

(всего возможно четыре касательных)
переставил на $y$ и выбрал из них две полуокружности:

$\[\begin{array}{l} {y_1} = 35 + \sqrt {275 + 50x - {x^2}} , \\ {y_2} = 85 + \sqrt { - 8525 + 210x - {x^2}} . \\ \end{array}\] $

Производные:

$\[\begin{array}{l} y{'_1} = \frac{{50 - 2x}}{{2\sqrt {275 + 50x - {x^2}} }}, \\ y{'_2} = \frac{{210 - 2x}}{{2\sqrt { - 8525 + 210x - {x^2}} }}. \\ \end{array}\] $

Потом моя идея: эти производные уравнять:

$\[\frac{{50 - 2x}}{{2\sqrt {275 + 50x - {x^2}} }} = \frac{{210 - 2x}}{{2\sqrt { - 8525 + 210x - {x^2}} }}\] $

Чтобы получить наклон общей касательной (не уверен, правильно ли выразился )
Но дальше что-то не сходятся мои рассуждения с действительностью:
$x=-95$, (да еще с компл. числами программа должна была решать)

И через эту координату никакая окружность не проходит
Или все-таки я далёк от правды?

Спасибо, буду рад Вашей помощи.

[ИСН]

Что такое производная? Каков её смысл (здесь)?

[math_lover]

Чтобы вычислить наклонность касательной:

Касательная: $\[y = mx + b\] $

Например:

$\[\begin{array}{l} y = {x^2} + 6x + 5 \\ y' = 2x + 6 \\ \end{array}\] $

Для точки $P(-4|-3)$ $m=2(-4)+6=-2$

Учусь не в России

[ИСН]

Наклон касательной? Хорошо. Касательной к чему? Касательной где?

[math_lover]

Касательную к этим двум функциям:

$\[\begin{array}{l} {y_1} = 35 + \sqrt {275 + 50x - {x^2}} , \\ {y_2} = 85 + \sqrt { - 8525 + 210x - {x^2}} . \\ \end{array}\] $

Где На эти полуокружности возможно провести только две общих касательных

Или как я еще должен понимать Ваш вопрос?

-- Пн апр 04, 2011 22:57:23 --

Попробовал похожее задание придумать, и предложенный мною способ не работает:

$\[\begin{array}{l} {y_1} = {x^2} + 6x + 5, \\ {y_2} = - {x^2} - 1. \\ \end{array}\] $

Касательных получаются две—параллельные:

$\[\begin{array}{l} {y_1} = 3x + \frac{{11}}{4}, \\ {y_2} = 3x + \frac{5}{4}. \\ \end{array}\] $

Совсем не то —должна быть одна общая

[mihailm]

math_lover в сообщении #431330 писал(а):

Здравствуйте

Не могу понять, хотя чувствую, что правда где-то рядом, как вычислить касательную на данные две окружности:
...

Если хотя б немного знакомы с аналитич геом-ей то идейно проще искать прямую Ax+By+C=0 расстояние до которой от центров данных окружностей равно их радиусам

[bot]

А не проще ли свести задачу к более простой, когда окружность меньшего радиуса является точкой?

[TOTAL]

Подставляйте свою $\[y = mx + b\]$ в каждое из уравнений
$\[\begin{array}{l} {\left( {x - 25} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} = {30^2}, \\ {\left( {x - 105} \right)^2} + {\left( {y - 85} \right)^2} = {50^2}. \\ \end{array}\]$
и каждый раз требуйте, чтобы равенялся нулю дискриминанта квадратного уравнения.
(Сам я это проделывать не пробовал.))

[ИСН]

Короче, math_lover, Вам уже накидали в избытке советов о том, как можно исхитриться и решить эту задачу, так и не узнав, зачем на свете производные и что они значат. Дальше как хотите.
Я бы дальше спросил: хорошо, забудем про две окружности. Вот одна какая-то функция. Одна. Вот взяли производную, получилась касательная... Стоп. Она же, наверное, не вообще касательная, а в какой-то конкретной точке, правда? В какой?

[ewert]

bot в сообщении #431365 писал(а):

А не проще ли свести задачу к более простой, когда окружность меньшего радиуса является точкой?

Так не найти "внутренние" касательные.

[TOTAL]

ewert в сообщении #431392 писал(а):

bot в сообщении #431365 писал(а):

А не проще ли свести задачу к более простой, когда окружность меньшего радиуса является точкой?

Так не найти "внутренние" касательные.

Найти
1) $R=|R_1 - R_2|$ и точка найдут внешние касательные
2) $R=|R_1 + R_2|$ и точка найдут внутренние касательные

(Точнее, так будут найдены наклоны касательных.)

[bot]

ewert в сообщении #431392 писал(а):

Так не найти "внутренние" касательные.

Ну почему же? Для нахождения внутренних, надо не уменьшить, а увеличить больший из радиусов.

[TOTAL]

bot в сообщении #431402 писал(а):

Ну почему же? Для нахождения внутренних, надо не уменьшить, а увеличить больший из радиусов.

Хоть меньший, хоть больший, хоть уменьшить, хоть увеличить.

[bot]

Ну да - один раз оба уменьшаем, а в другой - один уменьшаем, а другой увеличаваем.

[TOTAL]

Вот ещё способ. На прямой, проходящей через оба центра, найдём точку (две штуки), расстояние которой от центров пропорционально соответствующим радиусам. Через эту точку проходит касательная. Далее очевидно.