Найти предел

[bundos]

Вычислить $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac2{1}\frac5{2}\frac8{3}\ldots\frac{3n-1}{n}}$

(Оффтоп)

Попытка: $\sqrt[n]{\frac2{1}\frac5{2}\frac8{3}\ldots\frac{3n-1}{n}}=e^{\frac1{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\ln {\frac{3k-1}{k}}$, Очевидно $2\leqslant\sqrt[n]{\frac2{1}\frac5{2}\frac8{3}\ldots\frac{3n-1}{n}}< 3$. Может тут через вторый замечательный прокатит? Вообще ещё пробывал пердаставить логарифм как интеграл $\int\limits_{1}^{3-\frac1{n}}\frac1{x}dx$, но что-то не пошло.

[ewert]

bundos в сообщении #429547 писал(а):

Попытка: $\sqrt[n]{\frac2{1}\frac5{2}\frac8{3}\ldots\frac{3n-1}{n}}=e^{\frac1{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\ln {\frac{3k-1}{k}}$

Вычтите из показателя $\ln 3$. Тогда под знаком суммы окажется общий член, эквивалентный $(-\frac{1}{3k})$ и, следовательно, сумма будет оцениваться через некий логарифм, т.е. будет расти много медленнее, чем $n$.

[sup]

Пусть некая последовательность из положительных чисел имеет предел. Что Вы можете сказать насчет последовательности из средних геометрических?
$\lim \limits_{n \to \infty} a_n =a$
$b_n= \sqrt [n] {a_1a_2...a_n}$
$\lim \limits_{n \to \infty} b_n =?$

[ewert]

sup в сообщении #429564 писал(а):

Пусть некая последовательность из положительных чисел имеет предел. Что Вы можете сказать насчет последовательности из средних геометрических?

Ну, это некоторая теорема. Которую надо или знать, или на коленке доказывать на примере именно этой задачи, что неэстетично. Пример же вполне конкретный, и тут чем лаконичнее, тем лучше.

[sup]

(Оффтоп)

Да я так это припоминаю, что пара таких теорем сразу же возникала. Насчет средних арифметических и средних геометрических. Да и доказательства у них весьма простые. Прямо по определению.
Конечно, данную последовательности можно по разному исследовать. Однако имеется и более содержательный пример применения средних геометрических
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac {n}{\sqrt[n] {n!}} =e$

[ewert]

(Оффтоп)

sup в сообщении #429601 писал(а):

Да и доказательства у них весьма простые. Прямо по определению.

Ну прям-таки и по определению. Боюсь, что поэпсилонпополамить всё-таки придётся.