Задача про два одинаковых диска.

[Edmonton]

Условие: "Два одинаковых диска расположены так, как показано на рисунке 1.39. Диск 1 неподвижен, а диск 2 вращается без проскальзывания относительно диска 1. На какой угол альфа повернётся диск 2, обойдя один раз диск 1?"



У меня простая логическая цепочка: $V=\frac{R\,2\prod}T$ ; $w=\frac{V}R$; $w=\frac{2\prod}{T}$, а из этого следует, что $alpha=wT=2\prod$. В ответах указано 4П. Почему?

Сорри за немного странные формулы-только учусь их вводить.

[Утундрий]

[Edmonton]

Извините, я всё равно не понимаю =( на Вашем рисунке указана ведь только половина цикла, ведь в задаче подразумевается полный оборот, если я ничего не путаю. И выходит, что на Вашем рисунке подвижный диск прошёл угол П.

[Утундрий]

Edmonton
Вы внимательней присмотритесь, сколько оборотов совершил за половину цикла подвижный диск.

[Edmonton]

Ааа... И вправду, что-то я не заметил этого, спасибо.

А как решить эту же задачу в нечастном случае? Т.е., когда, допустим, радиус неподвиждного диска в 2 раза больше подвижного, или наоборот, и т.д..

[Батороев]

Edmonton в сообщении #427579 писал(а):

А как решить эту же задачу в нечастном случае? Т.е., когда, допустим, радиус неподвиждного диска в 2 раза больше подвижного, или наоборот, и т.д..

Решите две задачи:
1. Диск радиуса $r$ без проскальзывания катится по прямой. На какой угол он повернется, пройдя путь $2\pi R$?
2. На какой угол повернется диск, жестко закрепленный на водиле $O_1O_2$, если это водило совершит один полный оборот?
Затем сложите ответы.

[Утундрий]

Edmonton
Проще всего - переходом к вращающейся системе координат, в которой центры дисков покоятся.

[dovlato]

Можно доказать, что колобок с радиусом $R_1$ совершит $1+\frac{R_2}{R_1}$ оборотов.

[Munin]

dovlato
Осталось обобщить на $n$-мерного колобка... впрочем, уже качение шара по плоскости задача заковыристая и неголономная...

-- 27.03.2011 11:35:35 --

P. S. Тьфу, чего это я. Траектория точки касания на $n$-мерном шаре есть линия в римановом многообразии (не геодезическая в общем случае, разумеется, и хорошо если гладкая). Вдоль этой линии можно параллельно перенести базис из начальной точки касания в конечную, этот перенос будет интегралом по связности. И этот же перенос задаст конечную ориентацию шара относительно начальной. Если катать колобка по колобку, то всего лишь надо сделать это на обоих колобках.

[Edmonton]

Всем спасибо за ответы.

Вопрос ещё один возник, по ответу:

Батороев в сообщении #427695 писал(а):

2. На какой угол повернется диск, жестко закрепленный на водиле $O_1O_2$, если это водило совершит один полный оборот?

Этот угол-всегда 2П?

[Munin]

А кто такое водило?

[Edmonton]

Munin в сообщении #428263 писал(а):

А кто такое водило?

Я так понимаю, имеется ввиду некоторая палка, соединяющая середины двух дисков, притом один диск закреплён на плоскости, второй диск не закреплён, но ни один, ни второй не поворачиваются вокруг своей оси в данном случае.

[Батороев]

Edmonton в сообщении #428149 писал(а):

Этот угол-всегда 2П?

Да, ответ во всех случаях будет $2\pi$.

В механике часто сложное движение разбивается на простые.
В данном случае рассмотрены два движения:
- переносное - вращение водила (звено, соединяющее центры обоих дисков - применено мной условно), при рассмотрении этого движения диск 2 считаем жестко закрепленным на водиле;
- относительное - вращение диска относительно водила.