Простой вопрос (о значениях Гамма-функции)

[Imperator]

$\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}=...?$

[Vince Diesel]

Простой ответ: $|t|$

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #425807 писал(а):

Простой ответ: $|t|$

Но только при вещественном $t$!

$\Gamma(z+1)\equiv z\,\Gamma(z)$, а из вещественной аналитичности гамма-функции следует, что $\Gamma(\overline{z})=\overline{\Gamma(z)}$.

[Imperator]

Как оценить такой интеграл:
$\int\limits_{-T}^{T}\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}\cdot\frac{x}{|a+it|}dt?$
Если учитывать оценку выше, то получается $O(x\cdot T),$ но хотелось бы получше.
Здесь $x$ -- достаточно велико, а $a<0.$

[Vince Diesel]

Можно найти значение точно.

[Imperator]

Vince Diesel в сообщении #427630 писал(а):

Можно найти значение точно.

Чему оно будет равно?

[ewert]

Imperator в сообщении #427637 писал(а):

Чему оно будет равно?

Давайте начнём с чего попроще. При чём тут вообще икс-то?...

[Imperator]

ewert в сообщении #427780 писал(а):

Imperator в сообщении #427637 писал(а):

Чему оно будет равно?

Давайте начнём с чего попроще. При чём тут вообще икс-то?...

Очевидно же, что икс не при чем ($T=x^d,$ хотя и это неважно). Что скажете по поводу интеграла? Очевидно, что точно его посчитать нельзя. Или я не вижу просто.

[svv]

Вы можете записать интеграл в максимально простом виде, учтя всё сказанное в этой теме? И -- покорная просьба -- икса там быть не должно.

[Imperator]

svv в сообщении #427826 писал(а):

Вы можете записать интеграл в максимально простом виде, учтя всё сказанное в этой теме? И -- покорная просьба -- икса там быть не должно.

Могу:
$I=\int\limits_{-T}^{T}\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}\cdot\frac{dt}{|a+it|}.$

[svv]

Так ведь установили уже, что $\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}=|t|.$ Вы можете и это учесть и записать ещё проще?

[Imperator]

svv в сообщении #428709 писал(а):

Так ведь установили уже, что $\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}=|t|.$ Вы можете и это учесть и записать ещё проще?

Мне такая оценка ($I=O(T)$) не совсем подходит. Нужна лучше.

[svv]

$\frac{|\Gamma(1-it)|}{|\Gamma(it)|}=|t|$ -- это не оценка. Это точная формула. Эквивалентное преобразование. Точнее в математике не бывает.