Иррациональное выражение

[Xenia1996]

Диктатор Железин издал указ, согласно которому в стране, которой он правит, любое вещественное число, дробная часть которого меньше 0.001 или больше 0.999, является целым.
Верно ли, что существует бесконечно много натуральных n, для которых число $(45+\sqrt {1937})^n$ является целым по Железину?

[VAL]

Xenia1996 в сообщении #427629 писал(а):

Диктатор Железин издал указ, согласно которому в стране, которой он правит, любое вещественное число, дробная часть которого меньше 0.001 или больше 0.999, является целым.
Верно ли, что существует бесконечно много натуральных n, для которых число $(45+\sqrt {1937})^n$ является целым по Железину?

Конечно!
















PS: Интересно, как будет проинтерпретирован этот ответ?

[ИСН]

Там что, опять та же история, что с $1+\sqrt5\over2$, у которого степени приближаются к целым?

[Xenia1996]

А теперь обобщаем задачку.

Верно ли, что степень (с натуральным показателем n) любого положительного иррационального числа является целым числом по Железину при бесконечно многих n?

[Sonic86]

Предположим, что существует иррациональное $\alpha$ такое, что $\alpha ^n$ удалено от каждого целого числа на расстояние, большее чем $\epsilon$. $\alpha \in ([\alpha];[\alpha]+1)$, тогда для всех $k,n: \sqrt[n]{k} \in ([\alpha];[\alpha]+1)$ должно не выполняться, что $\sqrt[n]{k-\epsilon}<\alpha<\sqrt[n]{k+\epsilon}$. Если такие числа плотно заполняют интервал $\alpha \in ([\alpha];[\alpha]+1)$, то $\alpha$ не существует. Заодно хотелось бы узнать - заполняют ли корни из натуральных чисел плотно некоторый интервал или нет.

-- Сб мар 26, 2011 19:30:06 --

Рассмотрим $\sqrt[n]{k}$. Для него можно подобрать $m$ такое, что следующий корень лежит слева от него: $\sqrt[n]{k} > \sqrt[n+1]{k+m}$, но при этом чтобы интервал нового корня включал в себя старый корень: $\sqrt[n+1]{k+m+ \epsilon} > \sqrt[n]{k}$, т.е. для корня $\sqrt[n]{k}$ можно подобрать еще 1 корень $\sqrt[n+1]{k+m}$ слева так, чтобы их интервалы перекрывались. Действительно, выражая $m$, получаем:
$(k - \epsilon)(\sqrt[n]{k}-1)<m<k(\sqrt[n]{k}-1)$ - решение существует, поскольку функция $f(t)=t(\sqrt[n]{t}-1)$ неограниченно возрастает.
Строим множество интервалов влево. Их длина, если пренебречь граничными кусочками не менее чем сумма длин полуинтервалов (исключая граничные). Порядок длины полуинтервала для корня $\sqrt[n]{k}$ равен $\frac{1}{2}(\sqrt[n]{k + \epsilon}-\sqrt[n]{k + \epsilon}) \simeq \frac{\epsilon}{n \sqrt[n]{k}}$. Начальное $k=k_1, n=n_1$, для следующих интервалов получаем $n_{j+1}=n_j+1$, $k_{j+1}=k_j+m_j$, $m_j=\left( \frac{1}{\epsilon} -1 \right)^n + 1$.
Сумма длин оценивается снизу как $\epsilon \sum\limits_{j \geq 1} \frac{1}{n_j \sqrt[n_j]{k_j}}$ - расходится как оцениваемый снизу остатком гармонического ряда.

(Оффтоп)

Только проверьте меня! Могу наврать как делать нефиг...

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #427666 писал(а):

А теперь обобщаем задачку.

Верно ли, что степень (с натуральным показателем n) любого положительного иррационального числа является целым числом по Железину при бесконечно многих n?

В книге "Задачи студенческих олимпиад" (Садовничий и др., 1987) на стр. 79 имеется задача: "доказать, что существует действительное число $\alpha$, для которого $1/3 \leqslant \{\alpha^n\} \leqslant 2/3$ при всех натуральных $n$".

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #427701 писал(а):

В книге "Задачи студенческих олимпиад" (Садовничий и др., 1987) на стр. 79 имеется задача: "доказать, что существует действительное число $\alpha$, для которого $1/3 \leqslant \{\alpha^n\} \leqslant 2/3$ при всех натуральных $n$".

Ой, нашла! Номер задачи=16.
Там доказывается существование такого числа в сегменте $[\frac{16}{3},\frac{17}{3}]$

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

В книге "Задачи студенческих олимпиад" (Садовничий и др., 1987) на стр. 79 имеется задача: "доказать, что существует действительное число $\alpha$, для которого $1/3 \leqslant \{\alpha^n\} \leqslant 2/3$ при всех натуральных $n$".

Блин, значит у меня ошибка где-то...

-- Сб мар 26, 2011 20:48:16 --

Интересно было бы знать ответ для алгебраических чисел.

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #427629 писал(а):

Диктатор Железин издал указ, согласно которому в стране, которой он правит, любое вещественное число, дробная часть которого меньше 0.001 или больше 0.999, является целым.

(Оффтоп)

Только сегодня узнала, что Клим Чугункин из "Собачьего Сердца" получил (волею Булгакова) свою фамилию по этой же причине.