Дифф уравнение

[Stotch]

помогите пожалуйста решить диффур
$x''-x=0$-знаю оно простое просто не понимаю несколько вещей
1)Сначала находим лямбды $\lambda_1=-1$,$\lambda_2=1$-здесь все понятно
2)находим общее решение однородного уравнение в похожем примере написано что это $x_{o.o.}=c_1*e^{{\lambda_1}t}+c_2e^{\lambda_2t}$-Почему именно так там всегда так будет?
3)Потом вроде надо находить частное решение неоднородного уравнения-В каком виде будет именно в этом примере??и как определить какой будет вид
4)Вроде нужно просто прибавить частное решение к общему это и будет ответ-Это правильно???
Объясните пожалуйста заранее благодарен

[ИСН]

В старину люди умели дифференцировать. Они подставляли решения в диффур и проверяли их. Это по поводу (2).
А пункт (3) здесь вообще не нужен.

[laplas_the_best]

1)Правильно
2) http://www.pm298.ru/diffur4.php
3) Ваше уравнение однородное (справа 0, если не ноль,a $f(x)$ - то неоднородное). Частное решение неоднородного уравнения искать не нужно, если исходное уравнение -- однородное=)
4)
а) Если уравнение неоднородное. Требуется найти общее решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения = общее решение однородного уравнения + частное решение неоднородного
б) Если уравнение однородное, то нужно найти общее решение однородного.

[Stotch]

т.е в моем случае то что я написал чему равен x и есть ответ?

[laplas_the_best]

Stotch в сообщении #426439 писал(а):

т.е в моем случае то что я написал чему равен x и есть ответ?

Да, только лямбды подставить не забудьте=)

[Chipa]

Цитата:

Почему именно так там всегда так будет?

Не всегда. Будет чуть другое уравнение - будет чуть другой вид решения.

Чтобы лучше понять, не помешает:
а) почитать теорию по теме
б) попробовать решить "в лоб", без использования готовой формулы, три-четыре таких номера. сразу станет ясно, откуда что взялось

Цитата:

Потом вроде надо находить частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения искать не надо, т.к. наше - однородное. Можно конечно указать некоторые частные решения однородного уравнения, но зачем?

Цитата:

Вроде нужно просто прибавить частное решение к общему это и будет ответ

Это - для неоднородных уравнений. В однородном ничего прибавлять не надо. Опять же, формально можно найти частное решение и прибавить его, но оно сведется к тому что Вы и так нашли.