помогите разрешить спор

[lutana]

Здравствуйте!
На форуме одной он-лайн игры проводится викторина. Один вопрос вызвал спор между участниками викторины. Разрешить его, имхо,может только специалист,поскольку математиков среди участников викторины нет.

Задача такая.
В селе есть 39 домиков. Один из них- сокровищница. В ней находится предмет, забрать который можно, разрушив сокровищницу катапультами. На село нападают двое атакующих с катапультами. Каждый из них делает два выстрела катапультами, причем эти выстрелы производятся поочередно (не одновременно). Атакующие также атакуют поочередно. Катапульты бьют рандомно. Механика игры такова, что, даже если первый выстрел катапульт попадет в сокровищницу, второй выстрел все равно будет произведен по другому домику.Разрушенный домик не восстанавливается. В то же время выстрел не может быть произведен в "молоко", те при следующем выстреле обязательно будет разрушен один из оставшихся домиков.
Вопрос звучит так:
С какой вероятностью двое атакующих заберут предмет из сокровищницы?

Вариантов ответа много.
1/39+1/38+1/37+1/36
1/39+(38/39)*1/38+(37/39)*1/37+(36/39)*1/36=1/39+1/39+1/39+1/39=4/39
2/39+2/37
1/39+38/39(1/38+37/38(1/37+36/37(1/36)))=1/39+38/39(1/38+37/38(2/37))=1/39+38/39(3/38)=4/39

Не могли бы вы дать правильный ответ с объяснением ?

И еще два маленьких вопроса.
Есть ли какая-то проверка?
Вероятность выражается в единицах или может быть в процентах?
Заранее благодарна за ответ.
PS Надеюсь, формулы написала правильно.

[Null]

$\frac{4}{39}$ если я правильно понял условие.

[Sonic86]

Да попросту рушат 4 разных домика из 39, а значит $p= \frac{4}{39}$.
У вас, кстати 4 варианта ответа, причем 2-й и 4-й совпадают, так что один излишен (хотя правильный ответ можно найти разными способами).
Ответ $\frac{1}{39}+\frac{1}{38}+\frac{1}{37}+\frac{1}{36}$ неверен хотя бы потому, что если будет $n$ домиков и $n$ выстрелов, то по этой формуле было бы $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ ...+\frac{1}{n} = C + \ln n + \varepsilon _n \to + \infty$ - неограниченно растет, хотя вероятность, очевидно из здравого смысла, должна быть равна в таком случае 1.

lutana писал(а):

Есть ли какая-то проверка?

Эмпирическая строите 39 домиков, берете 2 катапульты...
Надо просто аккуратно сделать вывод.

lutana писал(а):

Вероятность выражается в единицах или может быть в процентах?

$1$%$ = 0,01$, поэтому любое число может быть выражено в процентах о правилу $a = 100a$%. Лично меня раздражают проценты, я пишу вероятность обычным вещественным числом, тем более, если это рациональная дробь, и в универе у нас всегда писали без процентов.

(формулы)

формулы обрамляются долларами + наводите мышкой на ТеХовские формулы - виден их код, как их писать, вот так и пишите

[ewert]

Прямая постановка вопроса: из 39 предметов выбираются 4; найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемый.
Решение: $\dfrac{C_{38}^3\cdot C_1^1}{C_{39}^4}=\dfrac{38!\cdot1}{3!\cdot35!}\cdot\dfrac{4!\cdot35!}{39!}=\dfrac{4}{39}$.

Эквивалентная переформулировка: среди 39 предметов выделены 4, и один из 39 случайным образом объявляется разыскиваемым. Найти веротность того, что он окажется среди четырёх выделенных.
Решение: $\dfrac{4}{39}$.

[lutana]

а это ничего,что с каждым последующим выстрелом вероятность попасть в сокровищницу становится выше?

[ИСН]

Ничего. Она не становится.
Или так: она становится выше, если предыдущим выстрелом промахнулись. А если попали, то совсем наоборот. В среднем выходит...

[lutana]

мне еще один ответ дали. к сожалению, я так и не поняла,как правильно формулы набирать.
вставлю скрин.


с каждым выстрелом домиков становится на 1 меньше

[ИСН]

lutana, теория вероятностей - коварная область, она полна парадоксов. Людям не следует о ней думать. Ответы будут получаться каждый раз разные, толку никакого, разве что свихнуться можно. Надо либо стать математиком, либо обратиться к услугам математиков. Вы что выбираете?

[ewert]

lutana в сообщении #425782 писал(а):

а это ничего,что с каждым последующим выстрелом вероятность попасть в сокровищницу становится выше?

А это третий способ (наименее разумный):

$P(A)=P(A_1)+P(A_2|\overline{A_1})P(\overline{A_1})+P(A_3|\overline{A_1}\cdot\overline{A_2})P(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2})+$
$+P(A_4|\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3})P(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3})=$
$=\dfrac{1}{39}+\dfrac{1}{38}\cdot\dfrac{38}{39}+\dfrac{1}{37}\cdot\left(\dfrac{38}{39}\cdot\dfrac{37}{38}\right)+\dfrac{1}{36}\cdot\left(\dfrac{38}{39}\cdot\dfrac{37}{38}\cdot\dfrac{36}{37}\right)=\dfrac{4}{39}$.

-- Пн мар 21, 2011 18:48:28 --

lutana в сообщении #425803 писал(а):

мне еще один ответ дали

, причём явно бредовый. Где они там учитывают, что

lutana в сообщении #425803 писал(а):

с каждым выстрелом домиков становится на 1 меньше

?...
Да и попросту формула для вычисления вероятности нелепа.

[lutana]

ИСН в сообщении #425806 писал(а):

lutana, теория вероятностей - коварная область, она полна парадоксов. Людям не следует о ней думать. Ответы будут получаться каждый раз разные, толку никакого, разве что свихнуться можно. Надо либо стать математиком, либо обратиться к услугам математиков. Вы что выбираете?

я учила вышку более 20 лет назад. естественно,ничего не помню. потому и обратилась к вам. но и сама пытаюсь что-то вспомнить )))

ewert в сообщении #425808 писал(а):

lutana в сообщении #425782 писал(а):

а это ничего,что с каждым последующим выстрелом вероятность попасть в сокровищницу становится выше?

А это третий способ (наименее разумный):

$P(A)=P(A_1)+P(A_2|\overline{A_1})P(\overline{A_1})+P(A_3|\overline{A_1}\cdot\overline{A_2})P(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2})+$
$+P(A_4|\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3})P(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3})=$
$=\dfrac{1}{39}+\dfrac{1}{38}\cdot\dfrac{38}{39}+\dfrac{1}{37}\cdot\left(\dfrac{38}{39}\cdot\dfrac{37}{38}\right)+\dfrac{1}{36}\cdot\left(\dfrac{38}{39}\cdot\dfrac{37}{38}\cdot\dfrac{36}{37}\right)=\dfrac{4}{39}$.

тут я согласна. ибо в формуле первое слагаемое учитывает попадание первого выстрела, а последующие выстрелы не учитываются. но ведь ,в любом случае, будут произведены 4 выстрела, и будут снесены 4 домика.


а так будет неправильно?

Замена формул картинками на форуме не допускается.
Здесь рассказано, как набирать формулы.

[lutana]

$P(A)=A_1\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\cdot\overline{A_4}+A_2\cdot\overline{A_1}\cdot\overline{A_3}\cdot\overline{A_4}+A_3\cdot\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_4}+A_4\cdot\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}$.

где $A_1$=1/39 ; $A_2$=1/38 ; $A_3$=1/37 ; $A_4$=1/36
$\overline{A_2}$= 38/39 ; $\overline{A_2}$=37/38 ; $\overline{A_3}$=36/37 ; $\overline{A_4}$=35/36

ведь, по сути, вариантов попадания одним из выстрелов в сокровищницу всего 4.
опять озадачилась. если, например, с первого выстрела мы попали в сокровищницу, то нужно ли учитывать непопадание остальных трех выстрелов. ведь они состоятся в любом случае.

2ewert Можно более подробное объяснение? у меня не примут голый ответ, ибо требуют аргументированного ответа (((

[ewert]

lutana в сообщении #425922 писал(а):

у меня не примут голый ответ, ибо требуют аргументированного ответа (((

Как, через 20 лет -- и всё ещё требують?...

Ну это неспортивно. И во всяком случае я -- ничего более содержательного, чем уж сказал, выдать явно не смогу..

[lutana]

это я 20 лет назад закончила институт.
а те,кто требуют "пример расчёта вероятности так, как эти люди считают правильным" дают такое решение 1/39 + 38/39 * 1/38 + 37/39 * 1/37 + ... т.е. просто число атак / 39.

меня интересует-зачем тут факториалы
$\dfrac{C_{38}^3\cdot C_1^1}{C_{39}^4}=\dfrac{38!\cdot1}{3!\cdot35!}\cdot\dfrac{4!\cdot35!}{39!}=\dfrac{4}{39}$.

[lutana]

вот мне еще дали объяснение, почему 4\39 будет неверно.

Если у тебя есть коробка с 39 карандашами, 38 черных ,1 красный. Ты тащишь по одному карандашу 4 раза, но в первом случае ,если вытащен черный карандаш ,ты его обратно в коробку кидаешь ,а во втором случае не кидаешь. Где вероятность вытащить красный больше?
В первом ты каждый раз тянешь из 39...А во втором количество уменьшается.
Соответственно ,в первом случае вероятность 4/39. Это стопудово... 4 одинаковых попытки из 39 карандашей.
А во втором вероятность больше 4/39. На сколько больше - обсуждать не готов ,но явно больше 4/39

[laplas_the_best]

lutana в сообщении #426012 писал(а):

вот мне еще дали объяснение, почему 4\39 будет неверно.

Если у тебя есть коробка с 39 карандашами, 38 черных ,1 красный. Ты тащишь по одному карандашу 4 раза, но в первом случае ,если вытащен черный карандаш ,ты его обратно в коробку кидаешь ,а во втором случае не кидаешь. Где вероятность вытащить красный больше?
В первом ты каждый раз тянешь из 39...А во втором количество уменьшается.
Соответственно ,в первом случае вероятность 4/39. Это стопудово... 4 одинаковых попытки из 39 карандашей.
А во втором вероятность больше 4/39. На сколько больше - обсуждать не готов ,но явно больше 4/39

Давайте рассмотрим коробку с двумя карандашами (более простую модель). Красный и черный.

Какова вероятность вытащить красный карандаш? Очевидно, что $\dfrac{1}{2}$

Если мы вытащим черный, а потом вернем его обратно, вероятность достать красный по-прежнему $\dfrac{1}{2}$

Теперь посчитаем вероятность "без возвращения"

Давайте введем обозначения

$$H_1={\text{{[1 вытащенный карандаш - красный]}}}$$

$$H_2={\text{{[1 вытащенный карандаш - черный]}}}$$

$$A={\text{[второй вытащенный карандаш - красный]}}$$

$$p(H_1)=\dfrac{1}{2}$$

;

$$p(H_2)=\dfrac{1}{2}$$

$$p(A|H_1)={\text{[вероятность того, что 2 карандаш красный, при условии, что 1 - красный]}}=0$$

$$p(A|H_2)={\text{[вероятность того, что второй шар красный, при условии, что первый черный]}}=1$$

По формуле полной вероятности

$$p(A)=p(A|H_1)p(H_1)+p(A|H_2)p(H_2)=0\cdot \dfrac{1}{2}+1\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$$

А те, с кем вы спорите -- забывают, что есть предположения $H_1$ и $H_2$ и у них есть какая-то вероятность.

То есть считают $p(A|H_2)$ вместо $p(A)$