Диф. уравнения

[integral2009]

1) $y'+\dfrac{4y}{x}=x^2y^2$

С чего начать решать такое уравнение? Подойдет ли замена $y=u\cdot v$?

2) $(16+x^2)y'+y=\arctg \dfrac{x}{4}$

Общее решение однородного уравнения получил, а частное решение неоднородного не понять как искать...

$(16+x^2)y'+y=0$

$(16+x^2)\dfrac{dy}{dx}=-y$

$\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x^2+4^2}$

$\ln|y|=-\dfrac{1}{4}\arctg\dfrac{x}{4}+\ln|C|$

$y_1=C\cdot e^{-\frac{1}{4}\arctg\frac{x}{4}}$ общее решение однородного уравнения

[Someone]

integral2009 в сообщении #423736 писал(а):

1) $y'+\dfrac{4y}{x}=x^2y^2$

С чего начать решать такое уравнение? Подойдет ли замена $y=u\cdot v$?

Это уравнение Бернулли. Такая замена вполне подойдёт, если функциями $u$ и $v$ должным образом распорядиться.

integral2009 в сообщении #423736 писал(а):

2) $(16+x^2)y'+y=\arctg \dfrac{x}{4}$

Общее решение однородного уравнения получил, а частное решение неоднородного не понять как искать...
...
$y_1=C\cdot e^{-\frac{1}{4}\arctg\frac{x}{4}}$ общее решение однородного уравнения

Это линейное уравнение. Дальше его можно решать методом вариации произвольной постоянной. А можно было бы решать так же, как первое уравнение.

[integral2009]

Someone в сообщении #423740 писал(а):

Это уравнение Бернулли. Такая замена вполне подойдёт, если функциями $u$ и $v$ должным образом распорядиться.

Сейчас попробую!

-- Чт мар 17, 2011 01:23:52 --

$y'+\dfrac{4y}{x}=x^2y^2$

$y=uv$

$y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'+\dfrac{4}{x}uv-x^2u^2v^2=0$

$u'v+u(v'+\dfrac{4}{x}v)-x^2u^2v^2=0$

Пусть $v'+\dfrac{4}{x}v=0$

$\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{4v}x$

$\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{4}{x}$

$\ln|v|=-4\ln|x|+C_1$

Пусть $C_1=0$

$v=\dfrac{1}{x^4}$

ТОгда

$\dfrac{1}{x^4}u'-x^2u^2\dfrac{1}{x^8}=0$

$\dfrac{1}{x^4}u'-u^2\dfrac{1}{x^6}=0$

$u'-\dfrac{u^2}{x^2}=0$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2}{x^2}$

$\dfrac{du}{u^2}=\dfrac{dx}{x^2}$

$-\dfrac{1}{u}=-\dfrac{1}{x}-C_2$

$\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{x}+C_2$

$u=\dfrac{1}{x^{-1}+C_2}$

$y=uv=\dfrac{1}{x^4}\cdot \dfrac{1}{x^{-1}+C_2}=\dfrac{1}{x^3(1+C_2x)}$