сходимость sin x / x^a

[ean]

Привет, мне нужно показать, что $\int\limits_{1}^{+\infty} {\frac {sin x} {x^\alpha}} dx$ сходится при $\alpha > 0$, доказать с помощью либо признака Абеля, либо Дирихле.
Признак Абеля: $f,g:[a;w)\to\mathbb{R}, f \in R[a;A] \forall A \in [a;w)$, $g$ - монотонная на $[a;w)$. Если $\exists\int\limits_{a}^{w}f(x) dx$ и $g$ ограничена на $[a;w)$, то $\exists\int\limits_{a}^{w}f(x)\cdot g(x) dx$
Признак Дирихле: $f,g:[a;w)\to\mathbb{R}, f \in R[a;A] \forall A \in [a;w)$, $g$ - монотонная на $[a;w)$. Если $\lim\limits_{x \to w} g(x) = 0$, $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx$ ограничена на $[a;w)$, то $\exists\int\limits_{a}^{w}f(x)\cdot g(x) dx$.
Я пытался сделать это следующим образом (пользуясь признаком Абеля):
$\frac {sin x} {x^\alpha} = \frac {sin x} {x} \cdot \frac {1} {x^{\alpha-1}}$, $\frac {sin x} {x} ограничена на $[1;+\infty)$, а $\frac {1} {x^{\alpha-1}}$ - сходится, если $\alpha - 1 > 1$, т.е. $\alpha > 2$.
Покажите пожалуйста где я ошибаюсь. Или как применить признаки, чтобы показать сходимость при $\alpha > 0$.

[ewert]

Применяйте признак Дирихле -- в лоб.

[ean]

ewert в сообщении #422325 писал(а):

Применяйте признак Дирихле -- в лоб.

спасибо, что-то я вчера вечером стормозил