2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 complex integral
Сообщение12.03.2011, 06:58 


30/11/10
227
(1) Calculate $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(tan^{-1}(\frac{1}{n})\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+tan(\frac{k}{n})}\right)=$

(2) Calculate $\displaystyle \lim_{n\to \infty}n.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sqrt[n]{sinx}\right)dx=$

 Профиль  
                  
 
 Re: complex integral
Сообщение12.03.2011, 10:43 


19/01/11
718
man111 в сообщении #421998 писал(а):
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(tan^{-1}(\frac{1}{n})\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+tan(\frac{k}{n})}\right)=$

Здесь $\tan(\frac1{n})$ не так ли ... или я что то перепутал..??

Если так , то в силу того, что $\tan x = x+o(x) , x\to 0$ отсюда , можно вычислить интеграл..
$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{1+\tan x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: complex integral
Сообщение12.03.2011, 13:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Первое не важно, что там $tan\frac 1n$ или $arctan \frac 1n$ или просто $\frac 1n$, все равно сводится к интегралу, который можно свести к интегралу от рациональной функции заменой $y=\tan \frac x2$.

Второе можно вычислить учитывая, что $\sin x=e^{\ln \sin x}, nx=y, \frac 1n<y<\frac{\pi}{2n}.$
Тогда получается ответ $\frac{\pi}{2}(1-\ln \frac{\pi}{2}).$

 Профиль  
                  
 
 Re: complex integral
Сообщение12.03.2011, 14:20 


19/01/11
718
Руст в сообщении #422082 писал(а):
Первое не важно, что там $tan\frac 1n$ или $arctan \frac 1n$ или просто $\frac 1n$, все равно сводится к интегралу

Руст извиняюсь за вопрос .... , но как можно
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(tan^{-1}(\frac{1}{n})\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+tan(\frac{k}{n})}\right)=$
привести к интеграл , там стоит тангенс с степенью -1?

(Оффтоп)

$\tan^{-1}(\frac1{n})=\frac1{\frac1{n}}+o(\frac1{n})   , n\to \infty$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 14:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
myra_panama в сообщении #422089 писал(а):
привести к интеграл , там стоит тангенс с степенью -1?

Вот именно. Поэтому ничего никуда приводить не надо, а надо тупо сказать, что предел равен плюс бесконечности. (В условии явная ошибка.)

Руст в сообщении #422082 писал(а):
Тогда получается ответ $\frac{\pi}{2}(1-\ln \frac{\pi}{2}).$

Не понял: как Вы круто предельный интеграл-то взяли?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 14:41 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
ewert в сообщении #422091 писал(а):
Вот именно. Поэтому ничего никуда приводить не надо, а надо тупо сказать, что предел равен плюс бесконечности. (В условии явная ошибка.)

Ну, нерусский писал) Там так арктангенс могут обозначить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 15:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Vince Diesel в сообщении #422095 писал(а):
Ну, нерусский писал) Там так арктангенс могут обозначить.

А, да. Совсем забыл, что у буржуев всё не как у людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: complex integral
Сообщение12.03.2011, 15:57 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Руст в сообщении #422082 писал(а):
Тогда получается ответ $\frac{\pi}{2}(1-\ln \frac{\pi}{2}).$

Что-то не то, ответ должен быть неотрицательным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 17:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Vince Diesel в сообщении #422124 писал(а):
Что-то не то, ответ должен быть неотрицательным.

Он и есть неотрицателен, только почему-то не совпадает с $-\int\limits_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx$. Возиться с которым мне лень (если это вообще возможно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2011, 17:27 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Ну это знаменитый интеграл Гаусса. Сначала замена $x=2y$, а потом синус удвоенного угла разваливаем на произведение синуса и косинуса, и косинус сводим к синусу дополнительного угла. Возникнет такой же интеграл с множителем 2. Можно и сосчитать, но лень.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2011, 09:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А, ну да, $\dfrac{\pi\,\ln2}{2}$. Но так некомплексно!

 Профиль  
                  
 
 Re: complex integral
Сообщение14.03.2011, 14:09 


30/11/10
227
Thanks to all for detaled explanation.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group