Последовательность Майера-Виеториса для сферы

[NPcomplete]

Для того, чтобы посчитать сингулярные гомологии S^{k} используется редуцированная (reduced) последовательность Майера-Виеториса.

Сфера представляется как объединение двух множествU и V, полученных выкалыванием одного из полюсов. Тогда их пересечение имеет гомотопический тип S^{k-1}. Дальше получается вот такая короткая точная последовательность:

\cdots\rightarrow 0 \rightarrow \tilde{H}_{n}\left(S^k\right) \xrightarrow{\partial_*}\, \tilde{H}_{n-1}\left(S^{k-1}\right) \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \!

Нули появляются из-за того, что U и V стягиваемы. Из этой последовательности и вычисляется группа гомологий.

Проблема в том, что я не могу понять зачем нужна именно редуцированная версия последовательности и чем не подходит обычная?

[neo66]

Обычная тоже подходит, только там надо отдельно немного повозиться с младшими гомологиями.

[NPcomplete]

Можно немного подробнее? Просто я вообще разницы не вижу какую из них использовать.

[neo66]

Разница в том, что в обычных гомологиях ${H}_0\left(S^{k}\right)\ne 0$. И вы ничего не сможете вычислить, не зная, например, гомологий одномерной сферы, которые, можно вычислить отдельно с ними разбираясь. Это все и "спрятано" в приведенных гомологиях.

[NPcomplete]

Ясно, спасибо. Просто в книгах обычно сначала считают гомологию одномерной сферы и на момент решения общего случая она известна. Это и привело меня в замешательство.

Я, если не возражаете, еще вопрос задам :)

Речь о локальных гомологиях. Известно, что если взять шарик B и точку x в R^n, то H(B, B - x) изоморфна H(S^{n-1}). Вычислениями это проверяется элементарно, но интуитивно я не понимаю. В H(B, B - x) мы выкидываем все циклы, кроме тех, что содержатся в одной точке, но почему при этом получается гомология сферы, а не тривиальная я объяснить не могу. Как это объяснить "рукомахательными" аргументами?

[neo66]

NPcomplete в сообщении #421842 писал(а):

Известно, что если взять шарик B и точку x в R^n, то H(B, B - x) изоморфна H(S^{n-1}).

Точнее, верно следующее утверждение(здесь $B^n$ $n$-мерный диск и $x$ - точка внутри него):
При $n\ge 1$ $H_k(B^n, B^n - x)= \mathbb{Z}$ при $k=n$ и равна $0$, если $n\ne k$.

В, частности, $H_2(B^2, B^2 - x)= \mathbb{Z}$. Это можно представлять себе так: Так как $B^2 - x$ гомотопически эквивалентно границе диска $B^2$, то $H_2(B^2, B^2 - x)=H_2(B^2, S^1)$. Нетривиальным двумерным циклом, представляющим последнюю группу (да и первую тоже) будет сам диск $B^2$. Так, что все нормально и никаких противоречий.

[NPcomplete]

Да, так понятно. Спасибо!