Определитель

[myra_panama]

Вычислите Определитель

$$\left|\begin{array}{cccccc} 2a_1&a_1+a_2&a_1+a_3&a_1+a_4&\ldots&a_1+a_n\\ a_2+a_1&2a_2&a_2+a_3&a_2+a_4&\ldots&a_2+a_n\\ a_3+a_1&a_3+a_2&2a_3&a_3+a_4&\ldots&a_3+a_n\\ \hdotsfor{6}\\ a_n+a_1&a_n+a_2&a_n+a_3&a_n+a_4&\ldots&2a_n\end{array}\right|$$

(Оффтоп)

простая задача ...
у меня ответ получилось 0 ... может я неправильно подсчитал

[Sonic86]

Не, не 0. Возьмите $n=2, a_1=1, a_2=-1$

[Ales]

Если размер больше, чем 2 на 2, то ноль.

[myra_panama]

Ales в сообщении #417592 писал(а):

Если размер больше, чем 2 на 2, то ноль.

это нужно как то доказать...

Sonic86 в сообщении #417589 писал(а):

Не, не 0. Возьмите $n=2, a_1=1, a_2=-1$

да правильно ,. но если так
$n=3 , a_1=1 , a_2=1 , a_3=1$
или $n=3 , a_1=1 , a_2=-1 , a_3=1$

[ewert]

myra_panama в сообщении #417585 писал(а):

у меня ответ получилось 0 ... может я неправильно подсчитал

Может, и неправильно. Хотя ответ действительно такой (конечно, начиная с $n=3$). А как Вы доказывали?...

[Sonic86]

А вообще да, если положить $a_i = a_j$ для $i \neq j$ определитель равен 0. Отсюда при $n \geq 4$ оно и следует. Остальное - перебором.

[Ales]

myra_panama в сообщении #417596 писал(а):

это нужно как то доказать...

Разложите в сумму двух определителей по первому столбцу, потом в каждом определителе отнимите первый столбец из всех остальных с подходящим коэффициентом.

-- Сб фев 26, 2011 15:50:33 --

Лучше даже так: столбцы определителя лежат в линейном пространстве размерности 2.

[myra_panama]

ewert в сообщении #417597 писал(а):

(конечно, начиная с $n=3$). А как Вы доказывали?...

я сделал вот что:
вычитая все строки с первой начиная из второго, получаем вот что
$L_n=(a_2-a_1)(a_3-a_1)...(a_n-a_1)K_n$
и здесь $K_n$ равен нулю

[ewert]

myra_panama в сообщении #417608 писал(а):

вычитая все строки с первой начиная из второго, получаем вот что
$L_n=(a_2-a_1)(a_3-a_1)...(a_n-a_1)K_n$
и здесь $K_n$ равен нулю

Ну можно и так (хотя не очень понятно, что такое $K_n$).

[myra_panama]

ewert в сообщении #417613 писал(а):

(хотя не очень понятно, что такое $K_n$)

$$K_n=\left|\begin{array}{cccccc} 2a_1&a_1+a_2&a_1+a_3&a_1+a_4&\ldots&a_1+a_n\\ 1&1&1&1&\ldots&1\\ 1&1&1&1&\ldots&1\\ \hdotsfor{6}\\ 1&1&1&1&\ldots&1\end{array}\right|$$

[ewert]

Вот так бы сразу.