Задача по тв: из урны потеряли два шара...

[spaits]

gris в сообщении #417263 писал(а):

Корифеи ушли, я выхожу.
spaits, Ваши рассуждения напоминают анекдот: вероятность встретить в лесу динозавра равна 50% — либо встретишь, либо нет.
Вероятность потери двух белых шаров не 1/4, а ...
А вообще задача равносильно такой: из урны вынимают три шара. Какова вероятность, что третий будет белым. Она будет ровно такой же, как вероятность первого шара быть белым. Собственно, это уже сказано, просто задача до боли знакомая.

Конечно, если известно, что потеряны два шара (неизвестно какого цвета), вероятность потери двух белых шаров равна $\dfrac14$.
Вероятность, что потеряны белый и чёрный шар, равна $\dfrac12$.
Речь идёт о вероятности, какие шары потеряны. Надо рассмотреть все возможные случаи.
Про Ваше утверждение, что вероятность вынуть третий шар будет такой же, как вероятность вынуть первый шар, справедливо только при условии, что потерянные шары складывают обратно. Уж не динозавр ли принёс потерянный шар и положил обратно в урну?

[gris]

Представьте, что в урне 1857493847 белых шаров и 3 чёрных.
Случайно теряют два шара. Вы таки будете продолжать настаивать на вероятностях 1/4, 1/2 и 1/4 для бб, бч и чч?
С формулой полной вероятности совершенно согласен.

Дело в том, что шары теряются случайно. Вот если бы Некто решил действовать по справедливости и назначил цвет теряемых шаров, подбрасывая монетку, орёл — белый, решка — чёрный, тогда Вы были бы совершенно правы. Но это была бы не потеря, а намеренное, уже не случайное, удаление. Потеря предполагает, что Случай назначает не цвет шаров, а сами шары. Вероятность потери двух белых будет больше, чем вероятность потери двух чёрных, поскольку белых просто больше и слепой Случай... Ну вот, опять понесло в словоблудие.

[spaits]

Gris, спасибо за исправление. Напишу правильное решение.
Вначале было 6 белых и 5 чёрных шаров.
Действительно, вероятность выпасть двум белым шарам не равна $\dfrac14$, обозначу её как $p_1$; $p_1=\dfrac{6}{11}*\dfrac{5}{10}=\dfrac{3}{11}$.
Вероятность выпасть двум чёрным шарам $p_2=\dfrac{5}{11}*\dfrac{4}{10}$ $=\dfrac{2}{11}$.
Вероятность выпасть в любом порядке одному белому и одному чёрному $p_3$ $=2*\dfrac{6}{11}*\dfrac{5}{10}=\dfrac{6}{11}$.
Эти вероятности и надо подставить в формулу полной вероятности. Искомая вероятность $P$ = $\dfrac{3}{11}*\dfrac49+\dfrac2{11}*\dfrac59}$$+\dfrac6{11}*\dfrac59$ $=\dfrac6{11}$.
Ответ: $\dfrac6{11}$.

[PAV]

Правильно, хотя это решение уже было выписано выше. Но опять-таки эту задачу нужно решать не так.

[--mS--]

PAV в сообщении #417368 писал(а):

Но опять-таки эту задачу нужно решать не так.

(Оффтоп)

Вот на самом деле не знаю, какое из решений счесть идеологически правильным. Два шарика - это всё же не 22, тогда бы пришлось начать думать, как обойтись без перебора вариантов. Но для этого нужно сначала научиться перебирать варианты, что мы дружно мешали делать ТС. Всё же до логики ewert'а студент должен додумываться сам, а не вкушать её в чьём-то изложении готовенькую. А чтобы уметь додумываться до оптимальных решений, нужно много задач перерешать неоптимальными методами.

[PAV]

--mS--

(Оффтоп)

Ну да, вполне возможно. Не исключаю, что каждый должен хотя бы раз решить задачу в лоб, без хитрых приемов, затем увидеть ответ, удивиться, что он получился таким же, как и без лишних извлечений, затем подумать и придти к пониманию сути дела. Но может быть можно придти к пониманию и сразу Как лично я пришел к пониманию - уже не помню. Но главное так или иначе придти и зафиксировать.

[spaits]

Итак, $p=\dfrac{m}{n} $, где $n$ - число всех возможных случаев, $m$ - число благоприятных для данного события случаев. Что-то происходит с тремя шариками: два выпали, один вытянули. Надо брать число размещений шариков в этих событиях. Рассматриваем, что случилось с этими тремя шариками.
$n=A_{11}^3=11*10*9$;
$m=m_1+m_2+m_3$, где $m_1$ - число благоприятных случаев, когда выпало два белых шарика, а третий взяли, $m_2$ - число благоприятных случаев, когда выпали два чёрных шарика, а белый взяли, $m_3$ - число размещений, когда выпали чёрный и белыё шарики и, как всегда, взяли белый.
Число благоприятных случаев можно сосчитать, зная, что в первом случае набор рассматриваемых шариков ббб, во втором ччб (два выпавших чч и один взятый из урны шарик б), в третьем случае рассматриваем шарики чбб (два выпавших чб и один взятый из урны шарик б).
$m_1=A_6^3$; $m_2=A_5^2*A_6^1$; $m_3=2*A_6^2*A_5^1$.
$m_1=6*5*4$; $m_2=5*4*6$; $m_3=2*5*6*5$.
$p=\dfrac{m}{n}$ $=\dfrac{6*5*4+5*4*6+2*5*6*5}{11*10*9}=$ $\dfrac{540}{11*10*9}$$=\dfrac6{11}$.

[Tlalok]

Я в теории вероятностей слегка плаваю, поэтому у меня вопрос к Корифеям.
Рассмотрим такую задачу.
Есть два ящика с конкретным набором белых и черных шаров. Допустим (9 белых и 17 черных - в первом и 11 белых и 13 черных - во втором). Из первого ящика во второй переложили 3 шара. Затем из второго ящика извлекли шар. Какова вероятность, что этот шар белый.

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты.

[spaits]

Рассмотрим такую задачу.
Есть два ящика с конкретным набором белых и черных шаров. Допустим (9 белых и 17 черных - в первом и 11 белых и 13 черных - во втором). Из первого ящика во второй переложили 3 шара. Затем из второго ящика извлекли шар. Какова вероятность, что этот шар белый.

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты?

Вот моё трафаретное решение по формуле полной вероятности.

$P=\dfrac{9*8*13+17*16*11+2*9*16*12}{26*25*26}=\dfrac{7384}{25*26^2}=0,437$.
Первоначально вероятность вынуть белый шар из второго ящика была $\dfrac{11}{24}$ $=0{,}458$. В первом ящике чёрных шаров больше, чем белых, поэтому добавление наугад взятых двух шаров из первого ящика уменьшает вероятность взять белый шар из второго ящика.

[Tlalok]

spaits
Вопрос как раз и состоит в том

Tlalok в сообщении #417420 писал(а):

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты?

[Yu_K]

А например для домино - вер-ть того, что случайно выбранные две кости образуют пару равна $13/18$, и если мы потеряли произвольнуые две-три кости - то из оставшихся при случайном выборе двух костей пара составляется также с вероятностью $13/18$, так?

[spaits]

Tlalok в сообщении #417440 писал(а):

spaits
Вопрос как раз и состоит в том

Tlalok в сообщении #417420 писал(а):

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты?

Tlalok, пожалуйста, приведите решение по ТС.
И что про ТС скажут корифеи?

[gris]

spaits, в Вашем трафаретном решении я не вижу число 27, а оно должно присутствовать, так как это число шаров во втором ящике после перекладывания. Распишите формулу поподробнее.
Решение по ТС, видимо, комбинаторное.
Я составил решение по формуле полной вероятности, но немного по-другому. У меня ответ 0,446.

[spaits]

gris в сообщении #417509 писал(а):

spaits, в Вашем трафаретном решении я не вижу число 27, а оно должно присутствовать, так как это число шаров во втором ящике после перекладывания. Распишите формулу поподробнее.
Решение по ТС, видимо, комбинаторное.
Я составил решение по формуле полной вероятности, но немного по-другому. У меня ответ 0,446.

$11+13+2=26$.
Gris. я уж испугалась - опять напутала. Но нет, кажется.

[PAV]

Tlalok в сообщении #417420 писал(а):

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты.

Потому что доли шаров в ящиках разные, поэтому перекладывание меняет вероятности. Попробуйте взять ящики с одинаковыми соотношениями шаров и убедитесь, что перекладывание любого количества случайно взятых шаров из одного ящика в другой не будет менять вероятности.

Тут на самом деле полностью работает аналогия с растворами. Представьте себе, что у Вас есть две емкости с какими-то растворами. Если процентное соотношение в них одинаковое, то сколько ни переливай из одного в другой, оно таким же и останется. А если оно разное, то от переливания оно также будет меняться. в зависимости от того, куда и сколько переливают.

Представьте себе, что в урне четверть белых шаров и три четверти - черных. Вы не глядя перекладываете шар из этой урны в другую. Удивительное свойство состоит в том, что хотя на самом деле этот шар имеет вполне определенный цвет, но Вы его не знаете, и поэтому с вероятностной точки зрения можно считать, что этот шар на одну четверть белый, а на три четверти - черный, и ровно столько бело-черного он с собой привносит. И это верно для любого переносимого шара, при условии что мы не глядим на его цвет.

-- Сб фев 26, 2011 13:09:12 --

Та же самая аналогия работает и для исходной задачи. У вас есть раствор. "Потеряли два шара" = "отлили из раствора какое-то количество". От этой операции его процентное соотношение не поменяется.