Норма функционала

[Everest]

Прошу помочь мне со следующим вопросом:

Для $x(t) \in C^1[-1;1]$ положим $f_{\epsilon}(x)=\frac{1}{2\epsilon}[x(\epsilon)-x(-\epsilon)]$, $f_{0}(x)=x^{/}(0)$, где $\epsilon \in R$, $|\epsilon|<1$.

Требуется найти норму функционала.

Известно, что так как $x(t) \in C^1[-1;1]$, то $||x||=max_{\subtrack{[-1;1]}} |x(t)| + max_{\subtrack{[-1;1]}} |x^{/}(t)|$

Так вот, я делаю следующее:

$|f_{\epsilon}(x)|=\frac{|x(\epsilon)-x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|} \le \frac{|x(\epsilon)|+|x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|} \le \frac{2||x||}{2|\epsilon|}=\frac{||x||}{|\epsilon|}$.

Поэтому $||f_{\epsilon}||=sup_{\subtrack{x \in C^1[-1;1]\\x \ne 0}} \frac{|f_{\epsilon}(x)|}{||x||} \le \frac{1}{|\epsilon|}$.

Не удалось построить пример, чтобы это значение достигалось. И вот возникает подозрение, что я неправильно посчитал норму функционала. Прошу помочь мне.

[ol_mer]

очень грубо оценили значение функционала. подумайте, к чему стремится значение фукционала на фиксированной функции $ f_{\epselon} $ при $ epselon \rightarrow 0$
что-то забыл я латех

[ewert]

Everest в сообщении #416167 писал(а):

$\frac{|x(\epsilon)-x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|} \le \frac{|x(\epsilon)|+|x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|}$

Чудовищное огрубление. Просто воспользуйтесь для левой части теоремой Лагранжа.

-- Ср фев 23, 2011 19:00:42 --

ol_mer в сообщении #416178 писал(а):

что-то забыл я латех

Не столько ЛаТеХ, сколько грамматику: что такое "epselon"?...

[Everest]

Ага, то есть я вполне могу сказать, что

$|f_{\epsilon}(x)|=\frac{|x(\epsilon)-x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|} \le \frac{2|x^{/}(0)| |\epsilon|}{2|\epsilon|} =|x^{/}(0)|$.

[ewert]

Everest в сообщении #416191 писал(а):

Ага, то есть я вполне могу сказать, что

$|f_{\epsilon}(x)|=\frac{|x(\epsilon)-x(-\epsilon)|}{2|\epsilon|} \le \frac{2|x^{/}(0)| |\epsilon|}{2|\epsilon|} =|x^{/}(0)|$.

Нет, вот так -- не можете, это вовсе не теорема Лагранжа. Кроме того, прекратите обозначать производную этими дикими слэшами, все люди доброй воли давно уж используют для подобных целей апостроф.

[Everest]

Да, про теорему Лагранжа я согласен, что поторопился.

Но даже вспомнив ее я до конца не осознал, что должно получиться.

[id]

Так запишите. Отличие будет небольшое и несущественное в плане оценки нормы.