Анализ функции

[teset]

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[0, +\infty)$, $\lim_{x \to \infty}{f(x)=0}$ и пусть $f(x)\ne 0 \forall x \le 0$. Верно ли, что
а) существует $\max_{x \in [0, \infty)}{f(x)}$
б) существует число $x_0 \ge 0$ такое, что $f(x)$ монотонна на $[0,x_0)$
в) функция $f(x)$ ограничена на $[0, +\infty)$

[Joker_vD]

Есть такой $x_{*}$, для которого верно, что $|f(x_{*})| = 1$ и $x > x_{*} \Longrightarrow |f(x)| < 1$. Теперь рассматривайте вашу непрерывную функцию отдельно на $[0,x_{*}]$ и отдельно на $(x_{*},+\infty)$. Правда, вам надо еще доказать существование такого $x_{*}$, но это несложно.

[teset]

Откуда взялась единица?

[Joker_vD]

Распишите $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0$ по определению и возьмите в качестве $\varepsilon$ единицу. Это можно сделать.

[gris]

По б) советовал бы подумать над контрпримером.
Поправьте в условии самое последнее неравенство $(\forall x\leq 0)$. Если исправить на $(\forall x\geq 0)$, это повлияет на первый ответ. Функции разделятся на 2 больших класса.
И что за $i$ в а)?

[ewert]

Хотя это и не обязательно, но полезно сделать замену типа $t=\dfrac{1}{x+1}$ -- просто чтобы уменьшить количество заклинаний. Тогда функция $g(t)=f(\frac{1}{t}-1)$ будет непрерывна на $(0;1]$ -- а значит, и на $[0;1]$, если её доопределить нулём в нуле (поскольку она стремится в нуле именно к нулю). Теперь всё сводится просто к теореме Вейерштрасса.

[gris]

Заклинания? Какие заклинания? К какому пункту? А не получите-ли Вы в качестве максимума это самое доопределение?

[ewert]

gris в сообщении #414253 писал(а):

А не получите-ли Вы в качестве максимума это самое доопределение?

А, ну да. Мне почему-то показалось, что функция положительна. Тогда не получим. А во втором возможном случае, когда она всюду отрицательна -- действительно, получим, и тогда максимум не достигается. Но в любом варианте -- просто теорема Вейерштрасса.

gris в сообщении #414253 писал(а):

Какие заклинания? К какому пункту?

К первому и третьему, естественно. Разбивать на участки, эпсилоны, дельты... Зачем?...

[gris]

Понятно. Просто такая замена может быть труднее для первокурсника, чем простые рассуждения в лоб. Теорему Вейерштрасса всё равно придётся применять, но зато не вводить новую функцию. Впрочем, я согласен.