limits

[myra_panama]

Вычислить пределы
1)$\lim\limits_{n \to \infty}n^2 \int\limits_0^{\frac1{n}}x^{x+1}dx$
2)$\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}$
вторую задачу я начинал так.,
$\lim\limits_{x \to 0}x^{x}=1$
и
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^{x+1}}{x}=1$
при любых $\epsilon>0 $ , существует n>N , который
$1-\epsilon<\frac{(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}}{\frac{k}{n^2}}<1+\epsilon$
дальше по моему можно перейти в сумму.....

[myra_panama]

ммм не кто не хочет помогать..или модераторы удалите сообщению

[sup]

В первой задаче можно воспользоваться простым соотношением
$x^{x+1}=x(1+O(x \ln x))$
А вот во второй задаче у Вас какая-то путаница. Ряд явно расходится, поскольку с ростом $k$
$ {(\frac {k}{n^2})}^{\frac {k}{n^2} +1} \to \infty $

[myra_panama]

sup в сообщении #413897 писал(а):

В первой задаче можно воспользоваться простым соотношением
$x^{x+1}=x(1+O(x \ln x))$

ответ будет $\frac12$ правильно...

sup в сообщении #413897 писал(а):

А вот во второй задаче у Вас какая-то путаница. Ряд явно расходится, поскольку с ростом $k$
$ {(\frac {k}{n^2})}^{\frac {k}{n^2} +1} \to \infty $

как это.. расходиться.../?
$1-\epsilon<\frac{(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}}{\frac{k}{n^2}}<1+\epsilon$
отсюда ,
$\sum\limits_{k=1}^{n}(1-\epsilon)<\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}}{\frac{k}{n^2}}<\sum\limits_{k=1}^{n}(1+\epsilon)$
дальше по моему понятно

[sup]

myra_panama в сообщении #413752 писал(а):

Вычислить пределы
2)$\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}$

У Вас суммирование по $k$ до $\infty$.

-- Чт фев 17, 2011 09:36:22 --

myra_panama в сообщении #413752 писал(а):

Вычислить пределы
2)$\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}$

У Вас суммирование по $k$ до $\infty$.

[myra_panama]

Цитата:

$\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}+1}$

опечатка ... суммирование по k до n

[sup]

Если так, то и во второй задаче можно воспользоваться соотношением
$x^{x+1}=x(1+O(x \ln x))$, полагая $ x = \frac {k}{n^2}$
После этого, искомая сумма получит вид
$S=1/2 + O(\frac {\ln ^2n}{n})$

[myra_panama]

sup в сообщении #413904 писал(а):

Если так, то и во второй задаче можно воспользоваться соотношением
$x^{x+1}=x(1+O(x \ln x))$, полагая $ x = \frac {k}{n^2}$
После этого, искомая сумма получит вид
$S=1/2 + O(\frac {\ln ^2n}{n})$

$$\lim\limits_{x \to 0}x^{x}=1$ и $\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^{x+1}}{x}=1$$

как можно отличить моё решение от вашем ...
по моему всё правильно сделал...