Является ли сумма/произведение нильпотентных матриц - тоже

[tavrik]

нильпотентым?

заданы матрицы А и B, при этом дано АB=BA.

Насчет произведения, я уверен, что да - потому что можно обе части заданного равенства возвести в наибольшую из степеней(если A^k = 0 B^m = 0 то АB^max{m,k} тоже должно быть равно ноль).

насчет суммы, видимо, нет. думаю достаточно примера, но не нахожу простейшего.
спасибо.

[Хорхе]

Произведение тоже не будет нильпотентным. Подумайте, где у Вас ошибка.

К слову, и для суммы, и для произведения пример можно взять один и тот же.

[patzer2097]

tavrik в сообщении #413344 писал(а):

насчет суммы, видимо, нет. думаю достаточно примера, но не нахожу простейшего.

Воспользуйтесь формулой бинома Ньютона для $(A+B)^{m+k}$ (пользуясь тем, что матрицы коммутируют). Должна получиться нулевая матрица.
Оказывается, что условие коммутирования существенно в этом условии, подумайте, почему,

Хорхе в сообщении #413348 писал(а):

К слову, и для суммы, и для произведения пример можно взять один и тот же.

[tavrik]

Сумма:

(А+B)^2 = A^2 + A*B + B*A + B^2
Теперь, обозначим через p1 p2 соответственно, степень, при которой матрица равна нулю. Пусть m=max{p1, p2}. Для любого k>m
A^m=B^m=0
посредством бином Ньютона, видно, что если n=2m то:
либо k>m
либо n-k=2m-k>=m

поэтому для любого k(k=0,.......,2m) - либо B^(2m-k), либо A^K равен 0.
Поэтому (A+B)^2m = 0

Не доказывает ли это нильпотентность суммы?

Произведение:
поскольку AB=BA то
(AB)^n = B^n * A^n
выберем n быть min{p1, p2} и получим, что произведение также равно 0.
Не доказывает ли это, что произведение нильпотентно?

[Хорхе]

Аааа, дано $AB=BA$. Тогда прошу прощения.

[AKM]

tavrik,

здесь рассказано, как набирать формулы.

[Joker_vD]

Это упражнение, в сущности, не отличается от утверждения "В коммутативном кольце нильпотенты образуют идеал".

[tavrik]

спасибо.

модератор
хорошо