Окружности и треугольник

[Sasha2]

Вот на первый взгляд кажется, что
1) Из всех окружностей, которые можно поместить внутрь треугольника, наибольшей является та, которая вписана в него.
2) Из всех окружностей, которые могут вмещать треугольник, наименьшей является та, которая описана вокруг него.

Но все равно, терзают смутные сомнения, что может это и не так.

[Shtirlic]

Sasha2 в сообщении #412488 писал(а):

Вот на первый взгляд кажется, что
1) Из всех окружностей, которые можно поместить внутрь треугольника, наибольшей является та, которая вписана в него.
2) Из всех окружностей, которые могут вмещать треугольник, наименьшей является та, которая описана вокруг него.

Но все равно, терзают смутные сомнения, что может это и не так.

Давайте думать по бытовому.
Поместим маленькую окружность внутрь треугольника и начнем ее увеличивать. Если окружность не касается ни одной стороны, то ясно что ее можно еще увеличить. Если окружность касается не всех сторон, то ее можно сдвинуть в сторону той стороны, которой она не касается, так, что она не будет опять касаться ни какой стороны, значит ее опять можно увеличить. А окружность с прямой может либо пересекаться (тогда она будет выходить за пределы треугольника), либо касаться ее. Следовательно, окружность нельзя больше увеличить и не выйти за границы треугольника, когда она касается всех его сторон.
Аналогично с описанной.

[bot]

1) Проводим касательные, параллельные сторонам - получится треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия <1.
2) С описанной надо подумать, как рассуждения на бытовом уровне превратить в доказательство.

[VAL]

Sasha2 в сообщении #412488 писал(а):

Вот на первый взгляд кажется, что
1) Из всех окружностей, которые можно поместить внутрь треугольника, наибольшей является та, которая вписана в него.
2) Из всех окружностей, которые могут вмещать треугольник, наименьшей является та, которая описана вокруг него.

Но все равно, терзают смутные сомнения, что может это и не так.

Правильно терзают!

-- 13 фев 2011, 15:51 --

Shtirlic в сообщении #412492 писал(а):

Аналогично с описанной.

А вот и нет!

[ewert]

Sasha2 в сообщении #412488 писал(а):

2) Из всех окружностей, которые могут вмещать треугольник, наименьшей является та, которая описана вокруг него.

Это верно тогда и только тогда, когда треугольник не тупоугольный.

[Shtirlic]

VAL в сообщении #412516 писал(а):

Shtirlic в сообщении #412492 писал(а):

Аналогично с описанной.

А вот и нет!

Согласен, погорячился, не подумал.

[Sasha2]

Ну хорошо, пока со вписанной разбираться буду.
Вот можно ли так превратить бытовое рассуждение в доказательство?

Рассматриваем произвольную точку внутри треугольника.. Ясно, что максимальный радиус окружности, который можно описать, имея эту точку центром, есть минимальное значение из трех перпендикуляров, которые мы опускаем на три стороны нашего трегольника. Остается показать, что это значение меньше радиуса вписнной окружности. Понятно, что наверно средствами диффиренциального исчисления можно решить эту задачу. Но хотелось бы получить решение в стиле задачи: Показать, что из всех точек, лежащих внутри выпуклого четырехугольника точка пересечения его диагоналей является той точкой, сумма расстояний от которой до его четырех вершин минимальна.

-- Вс фев 13, 2011 18:25:57 --

Да все, по моему получилось.
Простая вообщем формула $S=pr$, где
$S$ - это площадь треугольника
$p$ - его полупериметр
$r$ - радиус вписанной окружности
позволяет понять, почему вписанная окружность действительно является максимальной из всех окружностей, которые могут быть вложены в данный треугольник.

[ewert]

bot в сообщении #412513 писал(а):

С описанной надо подумать, как рассуждения на бытовом уровне превратить в доказательство.

Для каждой точки $M$ плоскости рассмотрим максимум расстояний от этой точки до всех точек треугольника. Пусть наименьший из этих максимумов достигается в точке $M_0$. Тогда именно в этой точке и должен находиться центр наименьшей окружности, захватывающей треугольник.

Так вот: если треугольник остроугольный, то точка $M_0$ -- это центр описанной окружности. А если тупоугольный -- то середина наибольшей стороны.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #412562 писал(а):

Простая вообщем формула $S=pr$, где
$S$ - это площадь треугольника
$p$ - его полупериметр
$r$ - радиус вписанной окружности
позволяет понять, почему вписанная окружность действительно является максимальной из всех окружностей, которые могут быть вложены в данный треугольник.

А как, собственно, помогает?... При чём тут вообще площади?...

bot в сообщении #412513 писал(а):

1) Проводим касательные, параллельные сторонам - получится треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия <1.

Это, конечно, хорошо, но доказывает лишь, что оптимальная окружность не меньше вписанной. А надо ещё, говоря формально, доказать, что она не может быть и больше.

Наверное, тут лучше тоже через расстояния, но -- до сторон. Окружность содержится в треугольнике тогда и только тогда, когда её радиус не больше минимального из расстояний от её центра до всех трёх сторон (и, конечно, центр лежит внутри треугольника). Центр вписанной окружности, очевидно, является той из внутренних точек треугольника, для которой минимум расстояний до сторон принимает максимальное значение. Поэтому именно вписанная окружность, и только она, и является максимальной.

[Sasha2]

А потому что при она еще при трех перпендикулярах, проведенных из некоторой точки трансформируется вот в такую
$S=\frac{ar_1+b_r_2+cr_3}{2}$, откуда легко усматривается, что минимальное значение этих $r_1, r_2, r_3$ не может быть более радиуса вписанной окружности.

[Sasha2]

Кстати, попутно замечаем, что следующее утверждение также справедливо :
Если из некоторой точки, лежащей внутри треугольника, опустить перпендикуляры на три его стороны, то тогда радиус окружности, вписанной в этот треугольник, не меньше самого меньшего из этих трех перпендикуляров и не больше самого большего из них.

[bot]

ewert в сообщении #412589 писал(а):

Это, конечно, хорошо, но доказывает лишь, что оптимальная окружность не меньше вписанной.

Ну почему же? Если окружность не касается хотя бы одной стороны, то построенный треугольник строго сожмётся, так как лежит строго внутри исходного. Чтобы из него получить исходный, надо его строго раздуть, вместе с ним строго раздуется исходная окружность, которая теперь будет вписанной.