Помогите, пожалуйста, доказать

[acme]

Помогите, пожалуйста, доказать, что множества [2;8) и [2;8] равномощны.

[ellipse]

acme в сообщении #411984 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать, что множества [2;8) и [2;8] равномощны.

Можно построить биективные отображения одного множества в другое и сослаться на теорему Бернштейна - Шрёдера.

[Joker_vD]

Выделите в $[2,8)$ счетное подмножество $A$ и отобразите его биективно в $A\cup\{8\}$.

[caxap]

Добавление конечного или счётного множества к бесконечному не меняет его мощности.

[Maslov]

Вот здесь можно почитать: post303735.html#p303735

[acme]

ellipse в сообщении #411986 писал(а):

acme в сообщении #411984 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать, что множества [2;8) и [2;8] равномощны.

Можно построить биективные отображения одного множества в другое и сослаться на теорему Бернштейна - Шрёдера.

А как биективно отобразить множество [2;8) в [2;8]?

[Joker_vD]

Я ж написал: выделяете в $[2,8)$ счетное подмножество $A = \{a_1,a_2,\,\dots,\,a_n,\,\dots\}$, далее строите отображение $f\colon[2,8)\to[2,8]$ так, чтобы $f(A) = A \cup \{8\},\mquad f(\overline A) = \overline A$ и сужения на $A,\,\overline A$ были биекциями. Тогда, сами понимаете, $f([2,8))=[2,8]$, и это биекция.

[svv]

Например, $a_n=2+6\cdot 2^{-n}$. Посмотрите, что это за множество, и сами напишите $f(a_n)$.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

svv
Ой, какую вы страшную последовательность взяли :) $a_n = 2 + \frac1n$.

[svv]

У меня $f(a_n)=a_{n-1}$. В частности, $f(a_1)=a_0$. Причем $a_0=8$ отсутствует в $A$, но присутствует в $A \cup \{8\}$. По-моему, очень симпатично.