Лёгкое неравенство

[arqady]

Пусть $a_1$, $a_2$,$a_3$ и $a_4$ положительны и такие, что $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=4$. Докажите, что

$$\frac{a_1^2}{a_2+a_3}+\frac{a_2^2}{a_3+a_4}+\frac{a_3^2}{a_4+a_1}+\frac{a_4^2}{a_1+a_2}\geq2$$

Заменил неравенство. То, что было мы хотим использовать на одной из наших олимпиад. Прошу прощения.
Заменил его на всякий случай на более лёгкое. Просьба к модераторам заблокировать этот топик.

[Sasha2]

Согласно Чебышеву (обоснованность применения проверяется легко) имеем
$\[6LHS \ge \left( {\sum\limits_{cyc} {{a_1}^2} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{a_1} + {a_2}}}} } \right) \ge 18\frac{{\sum\limits_{cyc} {{a_1}^2} }}{{\sum\limits_{cyc} {{a_1}} }}\]$.

Ну а теперь согласно Коши-Шварца имеем при данных условиях
$\[\frac{{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_6^2}}{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6}}} \ge 1\]$.

Отсюда и следует данное неравенство.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #409431 писал(а):

Согласно Чебышеву (обоснованность применения проверяется легко) имеем
$\[6LHS \ge \left( {\sum\limits_{cyc} {{a_1}^2} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{a_1} + {a_2}}}} } \right) $.

Легко проверяется, что последнее неравенство неверно.
Поскольку оно однородно, то можно взять $a_1\rightarrow+\infty$, $a_3=3$, $a_5=1$ и $a_2=a_4=a_6\rightarrow0^+$.

[Sasha2]

Да вижу, спутал порядки возрастания последовательностей.

[Sasha2]

Ну с Чебышевым я, конечно, напутал, но Ваше опровержение насчет стремления $a_1$ к бесконечности как-то слабо увязывается с ограничением по условию.
Может покажете решение. Конечно в том случае, если оно есть классика.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #410793 писал(а):

... но Ваше опровержение насчет стремления $a_1$ к бесконечности как-то слабо увязывается с ограничением по условию.

Там, где я писал про стремление к бесконечности, есть объяснение, почему так можно делать, несмотря на ограничение.

[Sasha2]

Что-то я совсем запутался.
Ваше исходное неравенство, предложенное к доказательству, точно таким же образом однородно, как и то, которое Вы опровергаете.
Но только для своего Вы почему то не стесняетесь указывать ограничения, а со вторым обходитесь слишком вольно.
Где же тут логика?

То есть, если действовать по такой схеме, надо значит и с Вашего исходного неравенства снимать ограничения и доказывать его для любых положительных чисел или подбирать контрпример, не стесняя нисколько себя указанным Вами ограничением.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #410888 писал(а):

Ваше исходное неравенство, предложенное к доказательству, точно таким же образом однородно, как и то, которое Вы опровергаете.

Моё неравенство неоднородно (степень левой части равна 1, а правой - равна нулю). Его можно сделать однородным и тогда, если очень захочется, устремить $a_1$ к бесконечности.

[Sasha2]

Да все теперь понял, извиняюсь.
А все равно, зачем такие извивы, когда проще указать на то, что нарушены условия применения неравенства Чебышева.
Одним словом, если у нас три числа $a,b,c$, то из суммы, чочтоящие из двух слагаемых дают возможность применять по ним (или по их обратным величинам) неравенство Чебышева. Если чисел 4, то суммы должны состоять не менее чем из трех слагаемых, а ечли чисел 6, то не менее чем из 5.

[arqady]

I am sorry! Try by yourself.

[arqady]

I am sorry. Try by yourself.

[arqady]

I am sorry. Try by yourself.