приближение полиномами

[Bridgeport]

Имеется $F: [0,1] \to {\mathbb R}$ непрерывная т.ч. $\int_0^1F(x)x^{2k}dx=0, \quad \forall k$

Требуется доказать $F=0$

Можно использовать факт, что $\int_0^1f(x)x^kdx=0$ дает $f=0$ (при прочих равных)

Как бы использовать замену переменной?

[Lazy]

А что точно Вы подразумеваете под $F = 0$?

[mihailm]

ну тема же приближение полиномами, зачем замена?

продолжим F четно
приблизим хорошенько полиномом например g
скалярное произведение F и g больше нуля
противоречие

[Bridgeport]

$F(x)=0,\quad \forall x \in [0,1]$ вот что имелось ввиду под $F=0$

[Bridgeport]

Сейчас только понял, что для четной функции $\int_{-1}^1F(x)x^{2n+1}=0$

Теперь все ясно, спасибо за подсказку!

[Bridgeport]

Bridgeport в сообщении #409956 писал(а):

Имеется $F: [0,1] \to {\mathbb R}$ непрерывная т.ч. $\int_0^1F(x)x^{2k}dx=0, \quad \forall k$

Требуется доказать $F=0$

Можно использовать факт, что $\int_0^1f(x)x^kdx=0$ дает $f=0$ (при прочих равных)

Как бы использовать замену переменной?

Вот нашел ошибку! Задача формулировалась по другому.

Имеется $F: [0,1] \to {\mathbb R}$ непрерывная т.ч. $\int_0^1F(x)x^{2k}dx=0, \quad \forall k\geq 1$

Требуется доказать $F=0$

T.e я в первоначально формулировке пропустил что $k \geq 1$

Как поправить решение? Теперь сложно приблизить полиномами, так как постоянная функция отсутствует.

[sup]

А что Вам мешает перейти к $y=x^2$, положив при этом $F_1(y)=\sqrt{y}F(\sqrt{y})$?

[svv]

Обозначьте $G(x)=F(x)x^2$, тогда $\int_0^1G(x)x^{2k}dx=0, \quad \forall k\geqslant 0$

[Bridgeport]

Ага, похоже все верно! Спасибо!

[svv]

Похоже, можно выбросить как угодно много первых $n$ "ортогональностей" -- у функции всё равно не будет другого выхода, как быть равной нулю.