Актуальные бесконечно малые

[Алексей К.]

Dialectic в сообщении #408026 писал(а):

Lazy в сообщении #408012 писал(а):

Так вот, деля единицу на любое сколь угодно большое число, мы все равно не получим никогда нуля в точности.

Как это понять "сколь угодно большое число"? Если оно число - то вот оно число, а Ваша фраза предпологает, как будто-бы числа немножечко больше самих себя.

Нет. Это Ваша личная трактовка. Для меня, например, "сколь угодно большое число" означает: возьми положительное число, проверь то, о чём речь в той конкретной дискуссии, и если что-то там не выполняется, возьми бОльшее число, и, если надо, ещё бОльшее, и ещё и ещё...
Разумеется, этот процесс обычно удаётся описать общо, неравенствами, в три строчки.

(Или в десять строчек. Или в тыщу. Но не в сколь угодно много, пожалуй )

[Gortaur]

Да, б.м. (по отношению к $f(x)$ или $a_n$) - это класс функций (последовательностей), параметризованный двумя (одним) параметром - точкой и нулем (нулем). Хотя нуль можно считать данным по умолчанию, когда мы вводим функцию - мы определяем область значений и берем нуль оттуда.
В чем проблема?
Господа оппоненты, если видите что собеседник настаивает на формализме - также пишите формальные утверждения, иначе противник не будет воспринимать Ваши аргументы.

[Dialectic]

Алексей К. в сообщении #408041 писал(а):

(Или в десять строчек. Или в тыщу. Но не в сколь угодно много, пожалуй )

Я думаю можно сказать так: выражение "провести доказательство для бесконечного числа случаев" - означает ничто иное как построить свое рассуждение по определенной схеме. В качестве таковых выступают различные схемы индукции. Мне кажется, что вот как-то так и устроен анализ. Что такое "бесконечно малая" - мне совершенно не понятно, не в контексте "актуальная" ни в контексте теории пределов, если рассматривать её иначе чем функцию (или как класс функций) который каким-то образом учитывает ещё два объекта (предельное значение, и значение переменной) .
-- Ср фев 02, 2011 01:38:44 --

Gortaur в сообщении #408048 писал(а):

Да, б.м. (по отношению к $f(x)$ или $a_n$) - это класс функций (последовательностей), параметризованный двумя (одним) параметром - точкой и нулем (нулем). Хотя нуль можно считать данным по умолчанию, когда мы вводим функцию - мы определяем область значений и берем нуль оттуда.
В чем проблема?

Не сочтите за труд, и уточните пожалуйста то, как с каждой функцией соотносится класс функций называемых "бесконечно малые величины"? И в каких случаях построение этого класса - совершенно невозможно?
Не могли бы Вы для простоты показать построение этого класса для простой функции: $y=x^2$?
Спасибо.

[Gortaur]

Легко, нуль можно считать фиксированным и уже введенным. Теперь про класс

$$ g = \mathcal{o}_a(x^2) $$

если $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{x^2} = 0$ и при этом предел определен.
Собственно, написав про параметризацию - я некорректно употребил слово "класс" в этой связи. Точнее - это семейство классов, параметризованное двумя параметрами.

[paha]

Алексей К. в сообщении #408041 писал(а):

Для меня, например, "сколь угодно большое число" означает: возьми положительное число, проверь то, о чём речь в той конкретной дискуссии, и если что-то там не выполняется, возьми бОльшее число, и, если надо, ещё бОльшее, и ещё и ещё...
Разумеется, этот процесс обычно удаётся описать общо, неравенствами, в три строчки.

$\forall R>0$ $1/R\ne 0$... Так?-)))

[Dialectic]

Gortaur в сообщении #408113 писал(а):

Легко, нуль можно считать фиксированным и уже введенным. Теперь про класс

$$ g = \mathcal{o}_a(x^2) $$

если $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{x^2} = 0$ и при этом предел определен.
Собственно, написав про параметризацию - я некорректно употребил слово "класс" в этой связи. Точнее - это семейство классов, параметризованное двумя параметрами.

Давайте разбираться с Вашим пояснением.
Вот мы разбираем понятие б.м.в. и пришли вроде к тому, что нужно выявить, какую-то особенность б.м.в. как функции. Я так и не понял: какую особенность Вы конкретно выделяете в функции, в качестве таковой, которая фиксирует нам понятие б.м.в?
Далее, раз бесконечно малая, как я давал определениее ранее, есть по определению функция которая в пределе дает нуль, то не понятно: зачем Вы ещё раз переписали понятие предела,где под его знаком поставли функцию которая сама имеет пределом нуль т.е. является б.м.в ? Что Вы тогда проясняете, если Вы используете пояснение в качестве самого себя? Затем, мне не ясно: согласны ли Вы с тем, что понятие предела осмысленно только в тех случаях когда задействовано как минимум три объекта 9как я говорил ранее)?

[Lazy]

По определению предела для функции в точке мы должны явно указать точку, в которой определяем предел. Если брать б.м.в. не по отношению к другой функции, а "как таковую" (хотя меня, все же, это словосочетание как-то коробит ), то мы должны указать точку, в которой функция будет являться бесконечно малой. Вот конкретно эта особенность функции: иметь пределом в конкретной точке число нуль. Это и является критерием, по которому определяем б.м.в. в указанной точке. То есть в другой точке эта же функция, возможно, и не является бесконечно малой.

Здесь и мое мнение по поводу Вашего второго вопроса: достаточно функции и точки (2 объектов). Или двух функций и точки, если имеется в виду сравнение бесконечно малых на предмет порядка в точке.

[Gortaur]

Все ж таки сравнение это основное. Даже "обычная " б.м.в. лучше любого Пежо это б.м.в. по сравнению, скажем, с константой. Да, это класс функций, опрелеляемый двумя объектами - функцией сравнения и точкой (нуль Вы сюда уже зря приплетаете - если мы допускаем возможность делить, то имеем поле - а там уж в нулях особо произвола нет).

[master]

вообще существует три вида величин("количеств").
1. "0"
2. конечные величины, выражаются числами
3. бесконечные величины, также могут выражаться числами с добавление фиксов.
все остальное относительно, приблеженно и т.п.

[Gortaur]

master
Ваше утверждение напоминает какую-нибудь алхимию.

[master]

Gortaur в сообщении #408529 писал(а):

master
Ваше утверждение напоминает какую-нибудь алхимию.