Система диффуров 2го порядка

[yerzhik]

Как решить задачу:
$m_1*x_1\prime\prime + c_1(x_1-x_3) = 0$
$m_2*x_2\prime\prime + c_2(x_2-x_3) = 0$
$m_3*x_3\prime\prime - c_1*x_1-c_2*x_2 + (c_1+c_2+c_3)x_3 = 0$
Где $m_1, m_2, m_3, c_1, c_2, c_3$ - константы.
Неизвестные переменные - $x_1, x_2, x_3$
Что-то не могу найти решения подобного рода задач в учебниках. Именно систем дифуров 2-го порядка.
Помогите пожалуйста.

[Alexey1]

Сведите эту систему к системе первого порядка сделав замену $y_1=x_1^{'}, y_2=x_2^{'}, y_3=x_3^{'}$, так получаете систему уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

[yerzhik]

Alexey1 в сообщении #407500 писал(а):

Сведите эту систему к системе первого порядка сделав замену $y_1=x_1^{'}, y_2=x_2^{'}, y_3=x_3^{'}$, так получаете систему уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Алексей, спасибо за ответ. Только я немного не понял его. Идею понял. Но вот что делать с $x_1, x_2, x_3$ в уравнениях, в которых они без производных входят? То есть понятно, что $y_1 = x_1\prime$, $y_1\prime = x_t\prime\prime$,
но как выразится $x_1$ через $y_1$? Интеграл? Пожалуйста, объясните.

[Alexey1]

А зачем их выражать? Оставляете как есть, просто после замены появляются ещё уравнения. Ну например, для уравнения $my''+ky=0$ после замены $v=y'$ получается система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} y'=v,\\ v'=-\frac{k}{m}y. \end{array}$$

[yerzhik]

Alexey1 в сообщении #407508 писал(а):

А зачем их выражать? Оставляете как есть, просто после замены появляются ещё уравнения. Ну например, для уравнения $my''+ky=0$ после замены $v=y'$ получается система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} y'=v,\\ v'=-\frac{k}{m}y. \end{array}$$

То есть получается, что теперь, после замены, неизвестные переменные $y_1, y_2, y_3$ будут зависеть от $x_1, x_2, x_3$ соответственно?
Даже, если при этом $x_1, x_2, x_3$ зависят от $t$?

[Alexey1]

Почему Вы их называете переменными? Это просто "неизвестные функции" производные которых выражаются с использованием этих функций. Вот Вам и надо найти эти функции. Они все будут зависеть от независимой переменной, назовите её $t$. После того, как решите систему, проинтегрируйте функции которые получили после замены, чтобы получить решение системы (первой).

[yerzhik]

Alexey1 в сообщении #407510 писал(а):

Почему Вы их называете переменными? Это просто "неизвестные функции" производные которых выражаются с использованием этих функций. Вот Вам и надо найти эти функции. Они все будут зависеть от независимой переменной, назовите её $t$. После того, как решите систему, проинтегрируйте функции которые получили после замены, чтобы получить решение системы (первой).

Понял, спасибо огромное!

[Alexey1]

В предыдущем сообщении надо было сказать, что функции являются переменными, но зависимыми. А вот зависят они от независимой переменной $t$.

[yerzhik]

Alexey1 в сообщении #407513 писал(а):

В предыдущем сообщении надо было сказать, что функции являются переменными, но зависимыми. А вот зависят они от независимой переменной $t$.

А что же тогда получается, если применить замену,
выходит система вида:
$y_1 = x_1\prime$
$y_2 = x_2\prime$
$y_3 = x_3\prime$
$y_1\prime = \frac{c_1}{m_1}(x_3 - x_1)$
$y_2\prime = \frac{c_2}{m_2}(x_3 - x_2)$
$y_3\prime = \frac{c_1 x_1 + c_2 x_2 - (c_1 + c_2 + c_3) x_3}{m_3}$
То есть, если я правильно понял, получается система вида:
$\frac{dY}{dt} = A Y + F(t)$
в которой $A = 0$? А все $x_1, x_2, x_3 $ в правой части входят в $F(t)$ , так?
Если так дальше решать задачу, то я приду с того, чего начал. Получится решение в виде двойного интеграла от правых частей исходной системы.
Ведь если засунуть $x_1, x_2, x_3 $ в $F(t)$, то решая вышеописанную систему, нужно будет взять интеграл от $F(t)$,
и так как подынтегральная функция содержит неизвестные иксы, то решения получено не будет.

[ИСН]

Какое F? Зачем запихивать в F? Разе Вы знаете иксы? Нет. Ну и зачем?
Три и три - будет дырка шесть. У Вас шесть неизвестных функций. Надо было новые обозначать не $y_1,\,y_2,\,y_3,$ а $x_4,\,x_5,\,x_6$, чтобы подчеркнуть этот факт. Они все равноправны. А дальше как обычно - собственные числа, экспоненты там...

[yerzhik]

ИСН в сообщении #407527 писал(а):

Какое F? Зачем запихивать в F? Разе Вы знаете иксы? Нет. Ну и зачем?
Три и три - будет дырка шесть. У Вас шесть неизвестных функций. Надо было новые обозначать не $y_1,\,y_2,\,y_3,$ а $x_4,\,x_5,\,x_6$, чтобы подчеркнуть этот факт. Они все равноправны. А дальше как обычно - собственные числа, экспоненты там...

Все, теперь понял! Спасибо!