Двойной интегралец

[Sonic86]

1. Пока просто найти $\iint\limits_{D_n} dxdy$ для $D_n: x,y \geq 2, \frac{x}{\ln x}\frac{y}{\ln y} \leq n$. Если не получится, то найти асимптотику, причем надо простым способом как-то это сделать ...

[paha]

при больших $n$ область -- практически равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $2(a_n-2)$, где $a_n=\sqrt{n}\ln(a_n)$

[Sonic86]

Должно быть $I_n \sim 2 \frac{n}{\ln n} \ln \ln n$
Не, так неинтересно, как Вы решали?
Чего-то у меня из Вашей формулы для катета это не выходит:
$2 a_n \sim \sqrt{n} \ln n$
$S \sim \frac{1}{2}n \ln ^2 n$

[mihiv]

Sonic86,а Вы уверены,что

Sonic86 в сообщении #407017 писал(а):

Должно быть $I_n \sim 2 \frac{n}{\ln n} \ln \ln n?$

Потому что,мне кажется, можно снизу оценить,как $Cn\ln ^2n$.

[Sonic86]

mihiv, честно говоря, не уверен. Просто по аналогии думал...
Вы как решали? Мне метод нужен. Я эту задачу для простоты привел. Думал, если мне покажут - разберусь сам, не буду никого мучить.
Может сразу более общую задачу выложить?

[sup]

А как Вам такой подход. Рассмотрим ур-е
$\frac {x}{\ln x} =A$
Тогда для "больших" $A$ имеет место приближенное равенство
$x=A \ln A(1+\frac {\ln \ln A}{\ln A -1}) = F(A)$
Далее, пусть $\frac {X_0}{\ln X_0} =\sqrt n$, тогда из соображений симметрии, искомая площадь равна
$S =(X_0-2)^2 + 2\int \limits_{2}^{X_0}F(n\frac {\ln x}{x})dx$
Отсюда получается, что-то типа (лень расписывать подробно)
$S \sim n {\ln}^3 n$

[Sonic86]

Так, про

Sonic86 писал(а):

Должно быть $I_n \sim 2 \frac{n}{\ln n} \ln \ln n$

я просто наврал.
Далее, мне нужна тогда только асимптотика с точностью до любого члена (потому что все-таки интеграл явно не считается).
Наконец, я хочу на самом деле найти асимптотику для $\int ... \int\limits_{D_{k,n}}dx_1...dx_k$ для $D_{k,n}: x_j \geq c, f(x_1)...f(x_k) \leq n$, $k$ - порядок кратного интеграла, для заданной функции $f$. $f(x)$ может быть задана в явном виде (как например $f(x) = \frac{x}{ \ln x}$) и для ее обратной функции может быть найдена асимптотика с точностью до любого слагаемого. Я предполагал делать замены переменной $y_k = f(x_k)$, считать $\prod \frac{dx_j}{dy_j}$ и затем брать $k$ повторных интегралов, но это довольно сложно. И я поэтому хотел как-то симметрию области использовать, если это возможно, вот только не пойму как.
sup, я правильно понял - это и Ваш подход тоже был?
"Содержательная" постановка задачи такая: дана последовательность действительных чисел $M$ с функцией плотности $f_M(x) = \sum\limits_{a \in M, a \leq x} 1$. Надо найти плотность $f_{M^k}$ множества $M^k = \{ w: w=x_1...x_k, x_j \in M\}$ через $f_{M}$. Считаем для простоты, что все возможные произведения чисел из $M$ различны.

Вот для $k=2$ и некоторых простых $f$ получается довольно таки красиво хотя бы 1-й член асимптотики:
$f(x)=x^a$:

$$\iint\limits_{xy \leq n^{\frac{1}{a}}}dxdy \sim \int\limits_{c}^{n^{\frac{1}{a}}/c}dx \frac{n^{\frac{1}{a}}}{x} \sim n^{\frac{1}{a}} \ln n^{\frac{1}{a}} \sim f^{-1}(n) \ln (f^{-1}n)$$

[sup]

Что касается той задачи, что Вы исходно заявили, то там план таков. Пишем асимптотику для решения уравнения $\frac {y}{\ln y} = A$. Область интегрирования, очевидно, состоит из "центрального" квадрата и двух одинаковых "хвостов". Далее, двойной интеграл сводим к повторному и используем эту асимптотику на одном из "хвостов". На другом - интеграл тот же самый в силу симметрии. Выражения там получаются довольно громоздкие. Я отследил лишь самый главный, да и то без множителя.

Для применения асимптотики решений уравнения (относительно $y$)
$\frac {y}{\ln y} =\frac {n \ln x}{x}$
надо иметь "достаточно большую" правую часть. Вот здесь я и воспользовался симметрией, и из двух симметричных кусков области выбрал "подходящий". Ну там еще квадрат "выкусил" (с ошибкой, кстати, но это все легко поправимо). Наверное, аналогичную идею можно и в многомерном случае применить. Например в 3-х мерном случае область будет такая: нечто навроде кубика и три одинаковых "хвоста". Но это при определенных условиях на $f(x)$. Не очень ясно, как Вы собираетесь искать асимптотику "в буквах", без явного указания $f(x)$? Или же Вы планируете рассмотреть некоторые конкретные $f(x)$?

[Sonic86]

sup, если в многомерном случае, то там не только хвосты и кубик - там еще кое-какие запчасти есть, число типов запчастей равно $k-2$, с ними надо тоже как-то разобраться

sup писал(а):

Не очень ясно, как Вы собираетесь искать асимптотику "в буквах", без явного указания $f(x)$? Или же Вы планируете рассмотреть некоторые конкретные $f(x)$?

А вдруг найду! Вообще у меня $f(x) \sim x \ln^{a_1} x \ln _2^{a_2}x... \ln _s ^{a_s}x$ - не очень конкретно. Но для таких $f(x)$ я, например, уже главный член асимптотики $\int f(x)dx$могу сразу записать не думая...

-- Ср фев 02, 2011 14:40:40 --

Если асимптотику нужно будет искать до нескольких членов, то $f(x)$ тоже задается асимптотикой с несколькими членами...

[sup]

По поводу "хвостов" и запчастей - я хотел лишь в общих чертах описать область интегрирования. Кроме того, еще и оговорился, что при определенных условиях на $f(x)$. Исходя из Вашего сообщения можно лишь предполагать ее монотонность и не более. Так что там много чего может быть.
Насчет асимптотики "в буквах". Честно сказать совсем не уверен в успехе. Ну вот Ваш пример с $f_M(x)=x^a$ вроде как дает $f_M^{-1}(n) \ln f_M^{-1}(n)$. А как насчет $f_M(x) = \ln x$? Да и для $f_M^{-1}(x)=x\ln x$ тоже другое выражение(там куб логарифма, а не квадрат). Правда может я запутался в обозначениях $f(x)$ и $f_M(x)$.
Другое дело, когда Вы предъявили более или менее явный вид для $f(x)$, пусть даже и с параметрами. В этом случае можно попробовать найти параметризованную асимптотику.

[Sonic86]

$f(x) = f_M(x)$
Я тогда дома попробую пару страшных интегралов посчитать и выложить - посмотрим, что получится...

[Sonic86]

Так.
Для $f(x)=x$ предполагается, что

$$\int ... \int\limits_{x_j \geq c ; \ x_1...x_k \leq n}dx_1...dx_k \sim n \frac{\ln ^k n}{k!}$$

Это вроде даже какой-то классический результат...

(Оффтоп)

Научите как в ТеХе это красиво писать

Для $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ предполагается, что

$$\int ... \int\limits_{D_{k,n}}dx_1...dx_k \sim c_k\frac{n}{\ln n} \ln ^k \ln n, c_k = 2^{2k-3}, k>1$$

Насчет формулы для $c_k$ я не уверен
для $f(x) = \ln x$ не получилось толком: застрял на асимптотике интеграла $\int\limits_{c}^{\frac{n}{c}} e^{y+\frac{n}{y}}dy$
Это все полуэмпирически конечно + функция $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ - особая среди функций $f_a(x)=\frac{x}{\ln ^a x}$ - в общем случае не должно вылазить $\ln _2 n$, как это вылезло там.
Наконец, пока не получается с асимптотикой остальных членов. Следующие члены уже зависят от $c$ - а я ее вообще взял только для того, чтобы функции были определены в $D_{k,n}$...

-- Чт фев 03, 2011 10:27:03 --

sup писал(а):

По поводу "хвостов" и запчастей - я хотел лишь в общих чертах описать область интегрирования.

А я на них уже нарвался - с ними неудобно работать, поэтому сразу и сказал...

[sup]

Sonic86 в сообщении #408472 писал(а):

для $f(x) = \ln x$ не получилось толком: застрял на асимптотике интеграла $\int\limits_{c}^{\frac{n}{c}} e^{y+\frac{n}{y}}dy$

С этим довольно просто. Разбиваем на два куска $ y<\sqrt{n}$ и$y>\sqrt{n}$. В интеграле по первому куску делаем замену $y'=1/y$. А затем просто интегрируем по частям. Должно получится выражение $\exp (c+n/c) (1+O(1/n))$
Но может этого и не надо делать, коль скоро у Вас уже есть общий вид функции? Вот на нем и сконцентрировать усилия ...
А Вам много членов асимптотики надо? (или заранее не известно?)

[Sonic86]

sup писал(а):

С этим довольно просто. Разбиваем на два куска $ y<\sqrt{n}$ и$y>\sqrt{n}$. В интеграле по первому куску делаем замену $y'=1/y$. А затем просто интегрируем по частям. Должно получится выражение $\exp (c+n/c) (1+O(1/n))$

Ой! Я что-то не могу въехать пока...

sup писал(а):

Но может этого и не надо делать, коль скоро у Вас уже есть общий вид функции? Вот на нем и сконцентрировать усилия ...

Может и не надо Я пока не знаю еще. Сама техника все равно пригодится для понимания...

sup писал(а):

А Вам много членов асимптотики надо? (или заранее не известно?)

Мне штуки 3 хватит. Или столько, чтоб вылазили $\frac{P(\ln _2 n)}{ \ln ^3 n}$ для некоторых $f(x)$. В общем несколько, но не ограниченное количество.

-- Чт фев 03, 2011 15:15:38 --

Вообще, самое важное здесь для меня - как-то отказаться от индуктивного вычисления многомерных интегралов, а как-то чтоб бац и сразу $k$-мерный я мог свернуть. Ну или мочь сводить к столь примитивной индукции, чтобы проблем она не вызывала...

[sup]

Ну да, понятно. Может что-нибудь типа производящей функции. Я кое-что такое видел. Взгляну.
А с тем интегралом все просто. Основной вклад дают две области - в окрестности $y \sim n/c$ и в окрестности $y \sim c$. (Вклад по второй окрестности - слабее. Чтобы там не возюкаться с $1/y$ можно сразу и замену организовать.) Ну а дальше - по частям. Например,
$\int \limits_{\sqrt{n}}^{n/c} e^ye^{n/y}dy=e^{c+n/c}+O(e^{C\sqrt{n}})+n\int \limits_{\sqrt{n}}^{n/c} \frac{e^ye^{n/y}}{y^2}dy$
Ну и тд.