Двойная сумма и абсолютная сходимость ряда

[Mikhail Sokolov]

Пусть ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ сходится, а ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ сходится абсолютно. Сходится ли ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{i=1}^k a_i b_k$ абсолютно?

[paha]

$$ \sum\limits_{k=1}^n \left|\sum\limits_{i=1}^k a_i b_k\right|\le\Bigl(\max_{k\in\{1,\ldots,n\}}\left|\sum\limits_{i=1}^k a_i\right|\right\Bigr)\sum_{k=1}^n|b_k| $$

[Padawan]

подозреваю, что там должно стоять $a_{k-i+1}b_i$

[paha]

Padawan в сообщении #406619 писал(а):

подозреваю, что там должно стоять $a_{k-i+1}b_i$

в смысле произведения $\sum a_kx^k\sum b_ix^i$?

[Mikhail Sokolov]

Извините, под абсолютной сходимостью я имел в виду сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{i=1}^k \left| a_i b_k \right|$.

[Mikhail Sokolov]

Сходится, но не абсолютно. В качестве контрпримера достаточно начиная с некоторого $k$ взять $a_k=\frac{(-1)^k}{k}$, $b_k=\frac{1}{k \ln^2(k)}$.
Жаль, то есть, получается, что в ряде $\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{i=1}^k a_i b_k$ нельзя изменить порядок суммирования на $\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{i=k}^\infty a_k b_i$.